中學(xué)生世界九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期上滬教版54制
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13、如圖，已知AD、BE是△ABC的兩條高。求證：$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$.
答案：證明：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD \cdot BC=\frac{1}{2}BE \cdot AC$，兩邊同除以$\frac{1}{2}BC \cdot AC$，得$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$。
14、已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，BC=AC+2，求線段AC的長?！ ?br>
答案：解：設(shè)$AC=x，$則$BC=x+2，$$AB=2x+2$
∵點(diǎn)$C$是線段$AB$的黃金分割點(diǎn)，且$BC＞AC$
∴$\frac {AC}{BC}=\frac {BC}{AB}$
∴${BC}^{2}=AC·AB$
∴${(x+2)}^{2}=x(2x+2)$
解得，$x=\sqrt {5}+1$
∴$AC=\sqrt {5}+1$
15、如圖，在梯形ABCD中，已知AD//BC。
（1）求證：$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$；
（2）求證：$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{DB}$.
答案：（1）證明：AD//BC，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DBC}$，$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BOC}=S_{\triangle DBC}-S_{\triangle BOC}$，即$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$。
（2）證明：AD//BC，$\triangle AOD \sim \triangle COB$，$\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}$，$\frac{AO}{AO+OC}=\frac{DO}{DO+OB}$，即$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{DB}$。
思維拓展3：若一個(gè)矩形的短邊與長邊的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黃金比），就稱這樣的矩形是黃金矩形。
（1）操作：請你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）內(nèi)，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？請說明理由。
答案：（2）是黃金矩形。設(shè)AD=1，AB=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，正方形AEFD中AE=AD=1，BE=AB-AE=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，BC=AD=1，$\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故四邊形EBCF是黃金矩形。
