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例1．已知不平行，，，，試判斷： 四點(diǎn)共面嗎？并證明你的結(jié)論．

提示：⑴可以求得，⑵四點(diǎn)共線，從而共面．

例2．空間四邊形中，分別是，的重心，設(shè)，，，⑴試用向量表示向量和；⑵證明：平面．

答案：⑴，；

例3．如圖在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，

⑴求證：；⑵求直線與所成角的余弦值；

⑶求直線與所成角的正弦值．

答案：⑵；⑶．

9．夾角和距離公式：

(1)夾角公式：，，則　　　　　　　　 ；　　　　　　　　　　 ； 　　　　　　　；　　　　　　　 ；

(2)兩點(diǎn)間距離公式：，，則　　　　　　　　　　　 ；

(3)向量與平面垂直的意義：若表示的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記為：，此時(shí)叫做平面的法向量．

8．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：，，則

　　　　　　　 　；　　　　　　　　 ；　　　　　　　　　 ；

　　　　　　　　　 ；　　　　　　　　 ；　　　　　　　 ；

若，，則．

7．空間直角坐標(biāo)系(右手直角坐標(biāo)系)：若，則

6．空間向量基本定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

特別地，若基底為單位正交基底(常用表示)，則可以建立空間直角坐標(biāo)系。

5．共面向量定理：　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

據(jù)此判斷四點(diǎn)共面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

4．共線向量定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；空間直線的向量參數(shù)方程：或(其中過點(diǎn)，在直線上，為空間任意一點(diǎn)，是的方向向量)由此判斷三點(diǎn)共線　　　　　　 ．

3．空間向量數(shù)量積：(1)主要性質(zhì)：①(可以用來求角)；

②(可以用來證明線線垂直)；　　 ③(可以用來求線段長)．

(2)運(yùn)算律：①；　 ②； ③．

2．向量加法與數(shù)乘向量的基本性質(zhì)：

(1)　　 (2)　　 (3)．

1．向量定義：　　　　　　　　　　　　　 ；相等向量：　　　　　　　　　　　　　　 ；

共線(平行)向量：　　　　　　　　　 ；共面向量：　　　　　　　　　　　　　　 ；