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1．掌握平面的基本性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線和線共面；

2．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求以BD₁為棱，B₁BD₁與C₁BD₁為面的二面角的度數(shù)．

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距

　 離．

2．將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何

　 體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

　 分析：這道題，學(xué)生答“7個(gè)面”的占99.9%，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

　 從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問(wèn)題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、

　 “垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解

　 題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

　 本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維

　 的廣闊性和批判性．

如圖9，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足

　 P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為

　 BC的中點(diǎn)．OP延長(zhǎng)過(guò)A，OQ延長(zhǎng)交ED于R，考

　 慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角

　 A-BC-R的平面角，結(jié)合特征(1)，(2)，可得VAOR

　 為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同

　 理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該

　 是5個(gè)面．

例3 　如圖10，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA₁上，且A₁F∶FA=1∶2，求平面B₁EF與底面A₁C₁所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B₁EF與底面A₁C₁所成的二面角中，沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB₁CC₁內(nèi)，作EH⊥B₁C₁于H，連結(jié)HA₁，顯然直線EF在底面A₁C₁的射影為HA₁．

延長(zhǎng)EF，HA₁交于G，過(guò)G，B₁的直線為所求二面角的棱．

在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，作HK⊥GB₁于K，連EK，

則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，作B₁L⊥GH于L，利用Rt△GLB₁∽R(shí)t△GKH，可求得KH．

又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過(guò)等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大�。�我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時(shí)，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個(gè)面到合適的位置，以便等價(jià)地作出該二面角的平面角．

略解：過(guò)F作A′B′的平行線交BB′于G，過(guò)G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH．

顯見(jiàn)平面FGH∥平面A′B′C′D′．

則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于

所求二面角的度數(shù)．　 過(guò)G作GM⊥HF，

垂足為M，連B′M，由三垂線定理知

B′M⊥HF．所以∠B′MG為二面角

B′-FH-G的平面角，其大小等于所求

二面角平面角的大小．

例4 　已知：如圖12，P是正方形ABCD所在

平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出

兩個(gè)平面的交線．

解：因?yàn)椤?AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以　 AB∥平面CPD．又　 P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此　 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以　 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角．

因?yàn)椤?AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以　 AB∥l．過(guò)P作PE⊥AB，PE⊥CD．因?yàn)椤?l∥AB∥CD，因此　 PE⊥l，PF⊥l，

所以　 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)椤?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，

因?yàn)椤?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以　 EF=BC=a．

在△EFP中，

小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問(wèn)題化歸是十分重要的．

1．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B₁D₁E與面BB₁C₁C所成

　 的二面角的大小的正切值．

　 練習(xí)1的條件背景表明，面B₁D₁E

　 與面BB₁C₁C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特

　 征(2)可知，這兩個(gè)二面角的大小

　 必定互補(bǔ)．

　 為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背

　 景，線段C₁D₁會(huì)讓我們眼睛一亮，我

　 們只須由C₁(或D₁)作B₁E的垂線交

　 B₁E于O，然后連結(jié)OD₁(或OC₁)即得面

　 D₁B₁E與面CC₁B₁E所成二面角的平面角∠C₁OD₁，

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

18．(09年廣東化學(xué)·24)(11分)

超細(xì)氧化鋁是一種重要的功能陶瓷原料。

(1)實(shí)驗(yàn)室常以NH₄Al(SO₄)₂和NH₄HCO₃為原料，在一定條件下先反應(yīng)生成沉淀NH₄AlO(OH)HCO₃,該沉淀高溫分解即得超Al₂O₃,NH₄AlO(OH)HCO₃熱分解的化學(xué)反應(yīng)方程式　　　　　　　　 。

(2)NH₄Al(SO₄)₂·12H₂O的相對(duì)分子質(zhì)量為453。欲配制100mlPH為2濃度約為0.1mol^-1的NH₄Al(SO₄)₂溶液,配制過(guò)程為

①用托盤天平稱量NH₄Al(SO₄)₂·12H₂O固體　　　 g。

②將上述固體置于燒杯中　　　　　　　　　 。

(3)在0.1mol·l^-1NH₄Al(SO₄)₂溶液中，鋁各形態(tài)的濃度(以Al³⁺計(jì))的對(duì)數(shù)(lgc)隨溶液ph變化的關(guān)系見(jiàn)下圖

①用NaOH溶液調(diào)節(jié)(2)中溶液pH至7，該過(guò)程中發(fā)生反應(yīng)的離子方程式有　　 ②請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的框圖中，畫(huà)出0.01mol·l^-1NH₄Al(SO₄)₂溶液中鋁各形態(tài)的濃度的對(duì)數(shù)lgc隨溶液pH變化的關(guān)系圖，并進(jìn)行必要的標(biāo)注。

答案：(1)2NH₄AlO(OH)HCO₃2NH₃↑+Al₂O₃+3H₂O↑+2CO₂↑(2)將4.5g固體置于燒杯中，邊加蒸餾水溶解邊用玻璃棒攪拌，待完全溶解后，用玻璃棒移液至100ml的容量瓶中，用蒸餾水洗滌燒杯和玻璃棒2~3次，并將洗滌液轉(zhuǎn)移到容量瓶中，加蒸餾水至刻度線2~3cm處應(yīng)改用膠頭滴管，上下振蕩，靜置，將配置好的溶液裝入試劑瓶中，并貼上標(biāo)簽。

(3)圖略。作圖要點(diǎn)：起始與最終數(shù)值為-2；剛開(kāi)始產(chǎn)生沉淀時(shí)PH要增大；完全沉淀和沉淀溶解時(shí)的PH應(yīng)與原圖一樣；氫氧化鋁完全溶解時(shí)的PH也是不變的二縱座標(biāo)發(fā)生改變，所以線要與原圖有所區(qū)別。

51．通過(guò)研究，小紅提出了一系列降低鉛對(duì)環(huán)境污染的建議，下列建議中不恰當(dāng)?shù)氖?)

A．使用無(wú)鉛汽油

B．開(kāi)發(fā)新的無(wú)鉛燃料

C．倡導(dǎo)使用鉛蓄電池作動(dòng)力的電動(dòng)車

D．燃煤電廠、金屬冶煉廠的廢氣經(jīng)除塵后排放。

答案：C