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1．已知平面a的一條斜線a與平面a成q角，直線bÌa，且a,b異面，則a與b所成的角為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A)

　　　 A．有最小值q，有最大值　　　　　　　　　　 B．無最小值，有最大值。

　　　 C．有最小值q，無最大值　　　　　　　　　　　　 D．有最小值q，有最大值p-q。

例1．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為C₁D₁中點．

(1)求證：AC₁⊥平面A₁BD．

(2)求BM與平面A₁BD成的角的正切值．

解： (1)連AC，　　　

∵C₁C⊥平面ABCD，　　 ∴C₁C⊥BD．

又AC⊥BD，　　 ∴AC₁⊥BD．

同理AC₁⊥A₁B

∵A₁B∩BD=B．∴AC₁⊥平面A₁BD．

(2)設(shè)正方體的棱長為，連AD₁，AD₁交A₁D于E，連結(jié)ME，在△D₁AC₁中，ME∥AC₁，

∵AC₁⊥平面A₁BD．∴ME⊥平面A₁BD．

連結(jié)BE，則∠MBE為BM與平面A₁BD成的角．在中，，

，∴．

例2．如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)，

使C點移動的距離等于AC時停止，并記為點P．

　　 (1)求證：面ABP⊥面ABC；

(2)求二面角C-BP-A的余弦值．

證明(1)　 由題設(shè)知AP＝CP＝BP．

∴點P在面ABC的射影D應(yīng)是△ABC的外心，

即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，

由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．

(2)解法1　 取PB中點E，連結(jié)CE、DE、CD．

∵△BCP為正三角形，∴CE⊥BD．

△BOD為等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED為二面角C-BP-A的平面角．

又由(1)知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，

由面面垂直性質(zhì)定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE為直角三角形．

設(shè)，則，，．

例3．如圖所示，在正三棱柱中，，截面側(cè)面．

(1)求證：；

(2)若，求平面與平面

所成二面角(銳角)的度數(shù)．

證明：在截面A1EC內(nèi)，過E作EG⊥AC，G是垂足，如圖，

∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥側(cè)面AC．

取AC的中點F，分別連結(jié)BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．

∵面ABC⊥側(cè)面AC，∴BF⊥側(cè)面AC，

得BF∥EG．BF和EG確定一個平面，交側(cè)面AC于FG．

∵BE∥側(cè)面AC，∴BE∥FG，四邊形BEGF是 ，BE＝FG．

∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．

解：(2)分別延長CE和C1B1交于點D，連結(jié)AD．

∵∠BAC＝∠BCA＝60°，

∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝90°，即 DA⊥AC．

∵CC⊥面ACB，

由三垂線定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．

∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角為45°．

說明：如果改用面積射影定理，則還有另外的解法．

3．判定兩個平面垂直，關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找到一條垂直于另一個平面的直線。

兩個平面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．

2．二面角的大小用它的平面角來度量，求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角(要證明)。作二面角的平面角經(jīng)常要用三垂線定理，關(guān)鍵是過二面角的一個面內(nèi)的一點向另一個面作垂線，并確定垂足的位置。若二面角的平面角難以作出，可考慮用射影面積公式求二面角的大小。

1．斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角。求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足，這時經(jīng)常要用面面垂直來確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用其它方法求出斜線上一點到平面的距離。

9．已知，將沿著平面的法向量平移到的位置，，，求證：．

8．如圖，點是矩形外一點，平面，、分別是、的中點，

⑴求證：；

⑵若，能否確定使得是異面直線與的公垂線？若可以確定，試求的值？若不能，說明理由．

答案：⑵ ．

7．已知空間三個點,和，設(shè),，

⑴求與的夾角(用反三角函數(shù)表示)；

　⑵試確定實數(shù)，使與互相垂直；

　⑶試確定實數(shù)，使與互相平行．

答案：⑴；⑵；⑶．

6．如圖，分別是四面體ABCD中各棱的中點，

若此四面體的對棱相等，

則與所成的角等于；

_0．

5．已知平面內(nèi)的，，是平面的斜線段，且，則點到平面的距離為．