分析反應原理：
1．二氧化氮跟水反應：3NO2+H2O=2HNO3+NO
[演示實驗]二氧化氮跟水反應。裝置如下圖所示(一支10mL量筒)。
(1)輕輕搖動量筒，觀察現(xiàn)象(水位逐漸上升，紅棕色逐漸變淺)。
(2)用大拇指按住量筒口，取出量筒倒轉(zhuǎn)振蕩，再插入水中，觀察現(xiàn)象。(水位迅速上升至量筒容積約
，剩余
體積的無色氣體)。
(3)將量筒口用橡膠塞塞住，從水中取出量筒，往量筒中滴入紫色石蕊試液，觀察現(xiàn)象(溶液變紅)。
通過以上實驗的分析引出下列問題。
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級數(shù)的概念及其性質(zhì) |
我們在中學里已經(jīng)遇到過級數(shù)--等差數(shù)列與等比數(shù)列，它們都屬于項數(shù)為有限的特殊情形。下面我們來學習項數(shù)為無限的級數(shù)，稱為無窮級數(shù)。
無窮級數(shù)的概念
設已給數(shù)列a1,a2,…,an,…把數(shù)列中各項依次用加號連接起來的式子a1+a2+…+an+…稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù).記作： 或 ，即：=a1+a2+…+an+…，數(shù)列的各項a1,a2,…稱為級數(shù)的項，an稱為級數(shù)的通項.
取級數(shù)最前的一項，兩項，…，n項，…相加，得一數(shù)列S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，… 這個數(shù)列的通項Sn=a1+a2+…+an稱為級數(shù)的前n項的部分和，該數(shù)列稱為級數(shù)的部分和數(shù)列。
如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂： ，那末就稱該級數(shù)收斂，極限值S稱為級數(shù)的和。
例題：證明級數(shù)： 的和是1.
證明：
當n→∞時，Sn→1.所以級數(shù)的和是1.
級數(shù)的性質(zhì) 1.級數(shù)收斂的必要條件：收斂的級數(shù) 的通項an當n→∞時趨于零，即：
注意：此條件只是級數(shù)收斂的必要條件，而不是充分條件。
例如：級數(shù) 雖然在n→∞時，通項 ，級數(shù)卻是發(fā)散的。
此級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，在此我們不加以證明。
2.如果級數(shù)收斂而它的和是S，那末每一項乘上常數(shù)c后所得到的級數(shù) ，也是收斂的，而且它的和是cS.如果發(fā)散，那末當c≠0時也發(fā)散。
3.兩個收斂的級數(shù)可以逐項相加或相減。
4.在任何收斂的級數(shù)中，不改變連在一起的有限項的次序而插入括號，所得的新級數(shù)仍收斂，其和不變。
注意：無限項的所謂和是一種極限，與有限項的和在本質(zhì)上是有區(qū)別的。
5.在一個級數(shù)的開頭添入或去掉有限個項并不影響這個級數(shù)的收斂或發(fā)散。 |
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正項級數(shù)的收斂問題 |
對于一個級數(shù)，我們一般會提出這樣兩個問題：它是不是收斂的？它的和是多少？顯然第一個問題是更重要的，因為如果級數(shù)是發(fā)散的，那末第二個問題就不存在了。下面我們來學習如何確定級數(shù)的收斂和發(fā)散問題。
我們先來考慮正項級數(shù)(即每一項an≥0的級數(shù))的收斂問題。
判定正項級數(shù)斂散性的基本定理
定理：正項級數(shù)收斂的充分與必要條件是部分和Sn上有界.如果Sn上無界，級數(shù)發(fā)散于正無窮大。
例如：p級數(shù)： ，當p>1時收斂，當p≤1時發(fā)散。
注意：在此我們不作證明。
正項級數(shù)的審斂準則
準則一：設有兩個正項級數(shù)及 ，而且an≤bn(n=1,2,…).如果收斂，那末也收斂；如果發(fā)散，那末也發(fā)散.
例如：級數(shù) 是收斂的，因為當n>1時，有 ≤ ，而等比級數(shù) 是收斂的
準則二：設有兩個正項級數(shù)與，如果 那末這兩個級數(shù)或者同時收斂，或者同時發(fā)散。
關(guān)于此準則的補充問題
如果 ，那末當收斂時，也收斂；如果 ，那末當發(fā)散時，也發(fā)散.
例如： 是收斂的.因為 ，而 是收斂的.
注意：以上這兩個準則來判定一個已知級數(shù)的斂散性，都需要另選一個收斂或發(fā)散的級數(shù)，以資比較.下面我們來學習兩個只依賴于已知級數(shù)本身的審斂準則.
準則三：設有正項級數(shù).如果極限 存在，那末當λ＜1時級數(shù)收斂，λ＞1時級數(shù)收斂.
注意：此準則就是達朗貝爾準則.這種判定方法稱為檢比法.
例如：級數(shù) 是收斂的，因為當n→∞時， .
準則四(柯西準則)：如果極限 存在，那末當λ＜1級數(shù)收斂，λ＞1級數(shù)發(fā)散.
例如：級數(shù) 是發(fā)散的，因為當n→∞時， |
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一般常數(shù)項級數(shù)的審斂準則 |
當級數(shù)中的正數(shù)項與負數(shù)項均為無窮多時，就稱級數(shù)為一般常數(shù)項級數(shù).
絕對收斂與條件收斂
設有一般常數(shù)項級數(shù)
取各項的絕對值所構(gòu)成的級數(shù)
稱為對應于原級數(shù)的絕對值級數(shù).
絕對收斂的準則：如果對應的絕對值級數(shù)收斂，那末原級數(shù)也收斂.
注意：此時稱為絕對收斂，
如果級數(shù)發(fā)散而級數(shù)收斂，
則稱為條件收斂。
關(guān)于絕對收斂與條件收斂的問題
一個絕對收斂級數(shù)的正數(shù)項與負數(shù)項所組成的級數(shù)都是收斂的；
一個條件收斂級數(shù)的正數(shù)項與負數(shù)項所組成的級數(shù)都是發(fā)散的。
例題：證明：當λ>1時，級數(shù) 為一絕對收斂級數(shù).
證明：因為 ≤ 而當λ>1時 收斂，故級數(shù) 收斂，從而級數(shù)絕對收斂.
交錯級數(shù)與它的審斂準則
交錯級數(shù)就是任一相鄰的兩項都是符號相反的數(shù)，它是一般常數(shù)項級數(shù)的一種特殊級數(shù).
交錯級數(shù)可以寫成：
交錯級數(shù)的審斂準則(萊布尼茲準則)：
如果 且，那末級數(shù) 收斂.
例如：交錯級數(shù) 是收斂的，因為它滿足萊布尼茲準則的兩個條件： 及 |
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函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù) |
在自然科學與工程技術(shù)中運用級數(shù)這一工具時，經(jīng)常用到不是常數(shù)項的級數(shù)，而是函數(shù)項的級數(shù).而常數(shù)項級數(shù)是研究函數(shù)項級數(shù)的基礎(chǔ)。
函數(shù)項級數(shù)的概念
設有函數(shù)序列， ，其中每一個函數(shù)都在同一個區(qū)間I上有定義，那末表達式 稱為定義在I上的函數(shù)項級數(shù)。
下面我們來學習常見而應用廣泛的一種具有如下形式的函數(shù)項級數(shù)：
它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù).這種級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中cn(n=0,1,2,…)均為常數(shù).
顯然，當上面級數(shù)中的變量x取定了某一個值x0時，它就變?yōu)橐粋�常數(shù)項級數(shù)。
冪級數(shù)的收斂問題
與常數(shù)項級數(shù)一樣，我們把 稱為冪級數(shù)的部分和。如果這部分和當n→∞時對區(qū)間I中的每一點都收斂，那末稱級數(shù)在區(qū)間I收斂。此時sn(x)的極限是定義在區(qū)間I中的函數(shù)，記作:s(x). 這個函數(shù)s(x)稱為級數(shù)的和函數(shù)，簡稱和，記作：
對于冪級數(shù)，我們關(guān)心的問題仍是它的收斂與發(fā)散的判定問題，下面我們來學習關(guān)于冪級數(shù)的收斂的判定準則。
冪級數(shù)的審斂準則
準則：設有冪級數(shù) .如果極限 ，那末，當 時，冪級數(shù)收斂，而且絕對收斂；當 時，冪級數(shù)發(fā)散，其中R可以是零，也可以是+∞.
由上面的準則我們可知：冪級數(shù)的收斂區(qū)間是關(guān)于原點對稱的區(qū)間.在這個區(qū)間內(nèi)級數(shù)收斂，在這個區(qū)間外級數(shù)發(fā)散.區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，簡稱斂區(qū)。正數(shù)R為冪級數(shù)的收斂半徑.
關(guān)于此審斂準則問題
討論冪級數(shù)收斂的問題主要在于收斂半徑的尋求。當 時，級數(shù)的斂散性不能由準則來判定，需另行討論。
例題：求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間.
解答：該級數(shù)的收斂半徑為：
所以此冪級數(shù)的斂區(qū)是(-5，5).
在x=5與x=-5，級數(shù)分別為 前者發(fā)散，后者收斂.
故級數(shù)的收斂區(qū)間是[-5,5)
冪級數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1：設有兩個冪級數(shù) 與 ，如果
=f1(x)，-R1<x<R1
=f2(x)，-R2<x<R2
則 =f1(x)±f2(x)，-R<x<R 其中R=min(R1,R2)
性質(zhì)2：冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)時連續(xù)的.
性質(zhì)3：冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)的任一點均可導，且有逐項求導公式：
 =
求導后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。
性質(zhì)4：冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)可以積分，并且有逐項積分公式：
積分后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。
由以上這些性質(zhì)可知：冪級數(shù)在其斂區(qū)內(nèi)就像普通的多項式一樣,可以相加,相減,可以逐項求導,逐項積分。 |
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函數(shù)的冪級數(shù)展開式 |
通過前面的學習我們看到，冪級數(shù)不僅形式簡單，而且有一些與多項式類似的性質(zhì)。而且我們還發(fā)現(xiàn)有一些可以表示成冪級數(shù)。為此我們有了下面兩個問題：
問題1：函數(shù)f(x)在什么條件下可以表示成冪級數(shù) ；
問題2：如果f(x)能表示成如上形式的冪級數(shù)，那末系數(shù)cn(n=0,1,2,3,…)怎樣確定？
下面我們就來學習這兩個問題。
泰勒級數(shù)
我們先來討論第二個問題.假定f(x)在a的鄰區(qū)內(nèi)能表示成這種形式的冪級數(shù)，其中a是事先給定某一常數(shù)，我們來看看系數(shù)cn與f(x)應有怎樣的關(guān)系。
由于f(x)可以表示成冪級數(shù)，我們可根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)，在x=a的鄰區(qū)內(nèi)f(x)可任意階可導.對其冪級數(shù)兩端逐次求導。得：
 ，
 ，
………………………………………………
 ，
………………………………………………
在f(x)冪級數(shù)式及其各階導數(shù)中，令x=a分別得：
把這些所求的系數(shù)代入得：
該式的右端的冪級數(shù)稱為f(x)在x+a處的泰勒級數(shù).
關(guān)于泰勒級數(shù)的問題
上式是在f(x)可以展成形如的冪級數(shù)的假定下得出的.實際上，只要f(x)在x=a處任意階可導，我們就可以寫出函數(shù)的泰勒級數(shù)。
問題：函數(shù)寫成泰勒級數(shù)后是否收斂？是否收斂于f(x)？
函數(shù)寫成泰勒級數(shù)是否收斂將取決于f(x)與它的泰勒級數(shù)的部分和之差
是否隨n→+∞而趨向于零.如果在某一區(qū)間I中有 那末f(x)在x=a處的泰勒級數(shù)將在區(qū)間I中收斂于f(x)。此時，我們把這個泰勒級數(shù)稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I中的泰勒展開式.
泰勒定理
設函數(shù)f(x)在x=a的鄰區(qū)內(nèi)n+1階可導，則對于位于此鄰區(qū)內(nèi)的任一x，至少存在一點c,c在a與x之間，使得：
此公式也被稱為泰勒公式。(在此不加以證明)
在泰勒公式中，取a=0，此時泰勒公式變成：
其中c在0與x之間
此式子被稱為麥克勞林公式。
函數(shù)f(x)在x=0的泰勒級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù).當麥克勞林公式中的余項趨于零時，我們稱相應的泰勒展開式為麥克勞林展開式.
即：
幾種初等函數(shù)的麥克勞林的展開式
1.指數(shù)函數(shù)ex
2.正弦函數(shù)的展開式
3.函數(shù)(1+x)m的展開式
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微分方程的基本概念 |
在許多科技領(lǐng)域里，常會遇到這樣的問題：
某個函數(shù)是怎樣的并不知道，但根據(jù)科技領(lǐng)域的普遍規(guī)律，卻可以知道這個未知函數(shù)及其導數(shù)與自變量之間會滿足某種關(guān)系。下面我們先來看一個例子：
例題：已知一條曲線過點(1,2)，且在該直線上任意點P(x,y)處的切線斜率為2x，求這條曲線方程
解答：設所求曲線的方程為y=y(x)，我們根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可知y=y(x)應滿足方程：
 我們發(fā)現(xiàn)這個方程中含有未知函數(shù)y的導數(shù)。這里我們先不求解。
微分方程的概念
我們把含有未知函數(shù)的導數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程。
在一個微分方程中所出現(xiàn)的導數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。當然階數(shù)越高的微分方程越麻煩。
從微分方程求出未知函數(shù)是什么就叫做解微分方程。滿足微分方程的函數(shù)(它要在某區(qū)間上連續(xù))稱為微分方程的解，微分方程的一般形式的解稱為微分方程的一般解.
滿足微分方程的一個有特殊要求的解稱為微分方程的一特解，這種特解通常是滿足一定的附加條件的解。
通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常數(shù)，其個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，因此用來確定任意常數(shù)以從一般解得出一個特解的附加條件的個數(shù)也與微分方程的階數(shù)相同. |
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可分離變量的微分方程與齊次方程 |
下面我們來學習用積分法解一階微分方程的問題。
并不是所有的一階微分方程都可以用積分法求解，只有一些特殊形式的一階微分方程可以用積分法求解，并且解法也各不相同。因此，我們學習時要認清各種微分方程的特點及它們的解法。
可分離變量的微分方程
這種方程的形式為：
我們往往會以為將上式兩端積分即可求解。其實是不對的。因為兩端積分后，得 ，右端是什么也求不出的，所以求不出y來。
其正確解法為：設y=y(x)為所求的解，于是當y=y(x)時，有
 ，即
這一步把y的函數(shù)及dy與x的函數(shù)及dx分開了，稱為分離變量，這是求解的關(guān)鍵的一步，下一步我們就可由不定積分換元法進行求解了。
例題：求方程 的通解。
解答：這是一個可分離變量的方程，分離變量后得
兩端分別積分，得
令 ，得
這就是該方程的通解。
齊次微分方程
這種微分方程的形式為：
它也不能由兩端積分求解。其求解步驟為：
令 ，則 ，y的微分方程就化成了u的微分方程
即：
這就化成了可分離變量的微分方程，再由上面我們所學的方法就可求出方程的通解。
例題：求方程 的特解。
解答：這是一個齊次方程。令y=ux代入，得
分離變量后，得
兩端分別積分，得
或
其中
代回u=y/x，得原方程的通解為
將初始條件y(0)=1代入，得 C=1.
所以滿足初始條件的特解為
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線性微分方程 |
線性微分方程
這種微分方程的形式為： ，其中，p,q與y,y'無關(guān)，但可以與x有關(guān).它對y與y'而言是一次的，故被稱之為一階線性微分方程。
當q=0時稱為齊次線性微分方程；當q≠0時稱為非齊次線性微分方程。
齊次線性微分方程的解法
齊次線性微分方程的形式為：
此方程是可分離變量的微分方程，分離變量后，得： ，這就可以由我們前面所學的方法進行求解。
例題：求 的一般解。
解答：由此方程可得 ，故
因此該方程的一般解為：
非齊次線性微分方程的解法
非齊次線性微分方程的形式為：
這種方程的解法為：先求出其對應的齊次線性微分方程的一般解 ，然后把c看作x的函數(shù)，再代到非齊次線性微分方程中來決定c，使它能滿足非齊次微分方程。
中把c作為x的函數(shù)求導數(shù)比c作為常數(shù)求導數(shù)要多處一項： ，所以中c作為x的函數(shù)代入微分方程就得到 .
所以只要 ，即 就可使非齊次線性微分方程得到滿足，即 為所求的一般解。
上面我們說學的這種解法被稱為Lagrange常數(shù)變易法。
例題：求解
解答：相應齊次線性微分方程的一般解為：
把c看成x的函數(shù)代入得：
因此：c'=x(x+1)
∴
故： 就是非齊次線性微分方程的一般解。 |
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可降階的高階方程 |
求解高階微分方程的方法之一是設法降低方程的階數(shù)。下面我們以二階方程為例來學習三種可以降階的方程。
1.右端僅含x的方程：y"=f(x)
對這類方程，只須兩端分別積分一次就可化為一階方程
 ，
再次積分，即可求出方程得通解。
例題：求方程y"=cosx的通解。
解答：一次積分得：
二次積分即得到方程得通解：
2.右端不顯含y的方程：y"=f(x,y')
我們?yōu)榱税逊匠探惦A，可令y'=p，將p看作是新的未知函數(shù)，x仍是自變量，于是 ，代入原方程得：
這就是一個一階方程，然后即可由我們前面學的方法進行求解了。
例題：求方程 的通解。
解答：令y'=p.，代入方程，得
分離變量后，得
積分，得
 .即
再積分，即得原方程的通解：
 .
3.右端不顯含x的方程：y"=f(y,y')
我們?yōu)榱税逊匠探惦A，可令y'=p，將p看作是自變量y的函數(shù)，有
代入原方程，得
這是關(guān)于p的一階方程，我們可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
例題：求方程 的通解
解答：令 代入原方程得：
它相當于兩個方程：
由第一個方程解得：y=C;
第二個方程可用分離變量法解得
p =C1y
從而
由此再分離變量，解得：
這就是原方程的通解(解y=C包含在這個解中) |
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線性微分方程解的結(jié)構(gòu) |
我們以二階方程為例來說明線性方程解的結(jié)構(gòu)，當然這些結(jié)論也適合于高階線性微分方程。
二階線性方程的一般形式為
其中y",y',y都是一次的，否則稱為二階非線性方程。
線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)
二階線性齊次方程的形式為：
定理：如果函數(shù) 均是方程的解，那末 也是該方程的解，其中C1,C2為任意常數(shù)。
線性齊次方程的這一性質(zhì)，又稱為解的疊和性。
問題：我們所求得的解是不是方程的通解呢？
一般來說，這是不一定的，那么什么情況下它才是方程的通解呢？為此我們由引出了兩個概念：線性相關(guān)與線性獨立。
定義：設 是定義在區(qū)間I的兩個函數(shù)，如果 ，那末稱此兩函數(shù)在區(qū)間I線性相關(guān)，否則，即之比不恒等于一個常數(shù)，那末稱此兩函數(shù)線性獨立或線性無關(guān)。
為此我們有了關(guān)于線性齊次方程特解的定理。
定理：如果是二階線線性齊次方程的任意兩個線性獨立的特解，那末就是該方程的通解，其中C1,C2為任意常數(shù)。
線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)
二階線性非齊次方程的形式為：
對于一階線性非齊次方程我們知道，線性非齊次方程的通解等于它的一個特解與對應的齊次方程通解之和。那末這個結(jié)論對高階線性非齊次方程適合嗎？
答案是肯定的。為此我們有下面的定理。
定理：設y是二階線性非齊次方程的任一特解，Y是與該方程對應的齊次線性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程的通解。
我們?yōu)榱艘院蟮慕忸}方便，又給出了一個定理，如下：
定理：設有線性非齊次方程 .如果分別是方程
 與方程
的解，那末 就是原方程的解。 |
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二階常系數(shù)齊次線性方程的解法 |
前面我們已經(jīng)知道了，無論是線性齊次方程和非齊次方程，它們的通解結(jié)構(gòu)雖然知道，但通解的尋求卻是建立在已知特解的基礎(chǔ)上。但是，即使對二階線性齊次方程，特解的尋求也沒有一般的方法。但是對于常系數(shù)的二階線性齊次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。
二階線性齊次方程的解法
二階線性齊次方程的一般形式為： ，其中a1，a2為實常數(shù)。
我們知道指數(shù)函數(shù)eax求導后仍為指數(shù)函數(shù)。利用這個性質(zhì)，可適當?shù)倪x擇常數(shù)ρ，使eax滿足方程上面的方程。我們可令： ，代入上面的方程得：
因為eax≠0，所以：
這樣，對于上面二次方程的每個根ρ，eax就是方程的一個解。方程就被稱為方程的特征方程。根據(jù)這個代數(shù)方程的根的不同性質(zhì)，我們分三種不同的情況來討論：
1.特征方程有兩個不等的實根的情形
設此兩實根為 。于是 是齊次方程的兩個特解，由于它們之比不等于常數(shù)，所以它們線性獨立，因此，方程的通解為：
其中c1，c2為實常數(shù)。
2.特征方程有重根的情形
此時特征方程的重根應為： ，于是只能得到的一個特解： ，我們可根據(jù)常數(shù)變易法再求其另一個特解為： .于是方程的通解為:
3.特征方程有共軛復根的情形
設共軛復根為 ，那末 是方程的兩個線性獨立的解，但是這種復數(shù)形式的解使用不方便，為了得到實數(shù)形式的解，利用歐拉公式： ，為此可以得到方程的通解：
由上面可知，求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟為：
1.對照方程寫出其特征方程：；
2.求出特征方程的兩個根：ρ1，ρ2
3.根據(jù)ρ1，ρ2是不同實根，相同實根，共軛復根，分別利用上面的公式寫出原方程的通解。
例題：求方程 的通解.
解答：此方程的特征方程為：
它有兩個不相同的實根 ，因此所求的通解為：
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二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法 |
我們來學習二階常系數(shù)線性非齊次方程 的求解方法.由前面我們知道線性非齊次方程的通解，等于它的任一特解與對應齊次方程的通解之和。前面我們已知道對應齊次方程的通解的解法，現(xiàn)在的關(guān)鍵是怎樣求得特解。
二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法
常系數(shù)二階線性非齊次方程的一般形式為：
下面我們根據(jù)f(x)具有下列特殊情形時，來給出求其特解的公式：
(1)：設 ，其中μ為一常數(shù)，
若 為零次多項式，此時：
a):當μ不是特征方程的根時，可設
b):當μ是特征方程的單根時，可設
c):當μ是特征方程的重根時，可設
若 為一m次多項式，即：μ=0，此時
a):當a2≠0即μ=0不是特征方程的根時，可設
b):當a2=0，a1≠0時，即μ=0是特征方程的單根時，可設
c):當a2=0，a1=0時，即μ=0是特征方程的重根時，可設
例題：求方程 的一個特解
解答：對應的特征方程為
原方程右端不出現(xiàn) ，但可以把它看作是 ，即μ=0
因為μ=0不是特征方程的根，所以設特解為
代入原方程，得
于是：
故所求的特解為：
(2)：設 或 ，其中a,μ,v為常數(shù)。
此時的特解為： 
例題：求方程 的特解
解答：顯然可設特解為：
代入原方程得：
由此得：
A=-1
從而原方程的特解是
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二重積分的概念及性質(zhì) |
前面我們已經(jīng)知道了，定積分與曲邊梯形的面積有關(guān)。下面我們通過曲頂柱體的體積來引出二重積分的概念，在此我們不作詳述，請大家參考有關(guān)書籍。
二重積分的定義
設z=f(x,y)為有界閉區(qū)域(σ)上的有界函數(shù)：
(1)把區(qū)域(σ)任意劃分成n個子域(△σk)(k=1,2,3,…,n),其面積記作△σk(k=1,2,3,…,n)；
(2)在每一個子域(△σk)上任取一點 ，作乘積 ；
(3)把所有這些乘積相加,即作出和數(shù)
(4)記子域的最大直徑d.如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取,上述和數(shù)當n→+∞且d→0時的極限存在,那末稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域(σ)上的二重積分.記作:
即：=
其中x與y稱為積分變量，函數(shù)f(x,y)稱為被積函數(shù),f(x,y)dσ稱為被積表達式,(σ)稱為積分區(qū)域.
關(guān)于二重積分的問題
對于二重積分的定義,我們并沒有f(x,y)≥0的限.容易看出,當f(x,y)≥0時,二重積分在幾何上就是以z=f(x,y)為曲頂，以(σ)為底且母線平行于z軸的曲頂柱體的體積。
上述就是二重積分的幾何意義。
如果被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域(σ)上連續(xù)，那末二重積分必定存在。
二重積分的性質(zhì)
(1).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去.
(2).有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和.
(3).如果把積分區(qū)域(σ)分成兩個子域(σ1)與(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:
(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:
≤
(5).設f(x,y)在閉域(σ)上連續(xù),則在(σ)上至少存在一點(ξ,η),使
其中σ是區(qū)域(σ)的面積. |
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二重積分的計算法 |
直角坐標系中的計算方法
這里我們采取的方法是累次積分法。也就是先把x看成常量，對y進行積分，然后在對x進行積分，或者是先把y看成常量，對x進行積分，然后在對y進行積分。為此我們有積分公式，如下：
或 
在這里我們可能會有這個問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？
累次積分上下限的確定方法
我們先來對區(qū)域作些補充說明：如果經(jīng)過區(qū)域(σ)內(nèi)任意一點(即不是區(qū)域邊界上的點)作平行于y軸(或x軸)的直線,且此直線交(σ)的邊界不超過兩點，那末稱(σ)為沿y軸(x軸)方向的正規(guī)區(qū)域.如果(σ)即是沿y軸方向也是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末(σ)就稱為正規(guī)區(qū)域.下圖所示的即為正規(guī)區(qū)域:
關(guān)于累次積分上下限的取法如下所述:
(1).如果(σ)為沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末二重積分可化為先對y再對x的累次積分.其中對y的積分下限是(σ)的下部邊界曲線所對應的函數(shù)y1(x)，積分上限是上部邊界曲線所對應的函數(shù)y2(x).對x的積分下限與上限分別是(σ)的最左與最右點的橫坐標a與b.
(2).如果(σ)為沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末二重積分可化為先對x再對y的累次積分.其中對x的積分下限是(σ)的左部邊界曲線所對應的函數(shù)x1(y)，積分上限是右部邊界曲線所對應的函數(shù)x2(y).對y的積分下限與上限分別是(σ)的最低與最高點的橫坐標c與d.
(3).如果(σ)為正規(guī)區(qū)域，那末累次積分可以交換積分次序。
(4).如果(σ)既不是沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域,也不是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末總可以把它化分成幾塊沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域或沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,然后根據(jù)積分的性質(zhì)即可求解積分.
例題：求二重積分 ，其中(σ)是由 所圍成的區(qū)域。
解答：因為是正規(guī)區(qū)域，所以我們可先對y后對x積分，也可先對x后對y積分。這里我們采用前者
先對y后對x積分：
極坐標系中的計算法
如果二重積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域(σ)的邊界方程均由極坐標的形式給出,那末我們?nèi)绾斡嬎隳?下面我們給出極坐標系中二重積分的計算公式.
如果極點O在(σ)的外部,區(qū)域(σ)用不等式表示為R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,則積分公式如下:
如果極點O在(σ)的內(nèi)部,區(qū)域(σ)的邊界方程為ρ=R(θ),0≤θ≤2π,則積分公式如下:
如果極點O在(σ)的邊界上,邊界方程為ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,則積分公式如下:
有了上面這些公式，一些在直角坐標系中不易積出而在極坐標系中易積出的函數(shù)，我們就可以把它轉(zhuǎn)化為在極坐標系中的積分即可，反之依然。
注：直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)換公式為：
例題：求 ，其中(σ)是圓環(huán)a2≤x2+y2≤b2
解答：由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式，顯然，這個二重積分化為極坐標計算比較方便。
把，dσ=ρdρdθ代入，即可轉(zhuǎn)化為極坐標系的積分形式。如下：
在對其進行累次積分計算：
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三重積分及其計算法 |
二重積分的被積函數(shù)是一個二元函數(shù)，它的積分域是-平面區(qū)域.如果考慮三元函數(shù)f(x,y,z)在一空間區(qū)域(V)上的積分，就可得到三重積分的概念。
三重積分的概念
設函數(shù)u=f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域(V)任意劃分成n個子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△Vn),它們的體積分別記作△Vk(k=1,2,…,n).在每一個子域上任取一點 ，并作和數(shù)
如果不論△Vk怎樣劃分，點怎樣選取，當n→+∞而且最大的子域直徑δ→0時，這個和數(shù)的極限都存在，那末此極限就稱為函數(shù) 在域(V)上的三重積分,記作：
即：
如果f(x,y,z)在域(V)上連續(xù)，那末此三重積分一定存在。
對于三重積分沒有直觀的幾何意義，但它卻有著各種不同的物理意義。
直角坐標系中三重積分的計算方法
這里我們直接給出三重積分的計算公式，具體它是怎樣得來的，請大家參照有關(guān)書籍。
直角坐標系中三重積分的計算公式為：
此公式是把一個三重積分轉(zhuǎn)化為一個定積分與一個二重積分的問題，根據(jù)我們前面所學的結(jié)論即可求出。
例題：求 ，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所圍成的區(qū)域.
解答：把I化為先對z積分，再對y和x積分的累次積分，那末應把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(σ),它就是
平面x+y+z=1與xOy平面的交線和x軸、y軸所圍成的三角區(qū)域.
我們?yōu)榱舜_定出對z積分限,在(σ)固定點(x,y),通過此點作一條平行于z的直線,它與(V)上下邊界的交
點的豎坐標：z=0與z=1-x-y，這就是對z積分的下限與上限，于是由積分公式得：
其中(σ)為平面區(qū)域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下圖紅色陰影部分所示：
再把(σ)域上的二重積分化成先對y后對x的累次積分，得：
柱面坐標系中三重積分的計算法
我們先來學習一下空間中的點用極坐標的表示方法。
平面上點P可以用極坐標(ρ,θ)來確定,因此空間中的點P可用數(shù)組(ρ,θ,z)來表示.顯然，空間的點P與數(shù)組(ρ,θ,z)之間的對應關(guān)系是一一對應關(guān)系,數(shù)組(ρ,θ,z)稱為空間點P的柱面坐標.它與直角坐標的關(guān)系為：
構(gòu)成柱面坐標系的三族坐標面分別為：
ρ=常數(shù)：以z軸為對稱軸的同軸圓柱面族，
θ=常數(shù)：通過z軸的半平面族，
z =常數(shù)：與z軸垂直的平面族.
因此，每三個這樣的坐標面確定著空間的唯一的一點，由于利用了圓柱面，所以稱為柱面坐標。
柱面坐標系下三重積分的計算公式為：
此處我們不在舉例。 |
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多元函數(shù)的概念 |
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我們前面所學的函數(shù)的自變量的個數(shù)都是一個，但是在實際問題中，所涉及的函數(shù)的自變量的個數(shù)往往是兩個，或者更多。
例：一個圓柱體的體積 與兩個獨立變量r,h有關(guān)。`
我們先以二個獨立的變量為基礎(chǔ)，來給出二元函數(shù)的定義。
二元函數(shù)的定義
設有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時，第三個變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應，那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù)。
記作：z=f(x,y). 其中x與y稱為自變量，函數(shù)z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域。
關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題
我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個或幾個區(qū)間.二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的連通的部分平面.這樣的部分在平面稱為區(qū)域.圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點稱為邊界點，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域。
如果一個區(qū)域D(開域或閉域)中任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱D為有界區(qū)域；否則稱D為無界區(qū)域。常見的區(qū)域有矩形域和圓形域。如下圖所示：
例題：求 的定義域.
解答：該函數(shù)的定義域為：x≥ ,y≥0.
二元函數(shù)的幾何表示
把自變量x、y及因變量z當作空間點的直角坐標，先在xOy平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域D；再過D域中得任一點M(x,y)作垂直于xOy平面的有向線段MP,使其值為與(x,y)對應的函數(shù)值z；
當M點在D中變動時，對應的P點的軌跡就是函數(shù)z=f(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，
其定義域D就是此曲面在xOy平面上的投影。 |
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二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性 |
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在一元函數(shù)中，我們曾學習過當自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限。對于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣可以學習當自變量x與y趨向于有限值ξ與η時，函數(shù)z的變化狀態(tài)。
在平面xOy上，(x,y)趨向(ξ,η)的方式可以時多種多樣的，因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復雜得多。如果當點(x,y)以任意方式趨向點(ξ,η)時，f(x,y)總是趨向于一個確定的常數(shù)A，
那末就稱A是二元函數(shù)f(x,y)當(x,y)→(ξ,η)時的極限。
這種極限通常稱為二重極限。
下面我們用ε-δ語言給出二重極限的嚴格定義：
二重極限的定義
如果定義于(ξ,η)的某一去心鄰域的一個二元函數(shù)f(x,y)跟一個確定的常數(shù)A有如下關(guān)系：對于任意給定的正數(shù)ε，無論怎樣小，相應的必有另一個正數(shù)δ，凡是滿足
的一切(x,y)都使不等式
 成立，
那末常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)當(x,y)→(ξ,η)時的二重極限。
正像一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運算法則：
二重極限的運算法則
如果當(x,y)→(ξ,η)時，f(x,y)→A，g(x,y)→B.
那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；
(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；
(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0
像一元函數(shù)一樣，我們可以利用二重極限來給出二元函數(shù)連續(xù)的定義：
二元函數(shù)的連續(xù)性
如果當點(x,y)趨向點(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(x0,y0)處的函數(shù)值f(x0,y0)，那末稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).如果f(x,y)在區(qū)域D的每一點都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù)。
如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個間斷點。
關(guān)于二元函數(shù)間斷的問題
二元函數(shù)間斷點的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復雜，它除了有間斷點，還有間斷線。
二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零)和復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。
例題：求下面函數(shù)的間斷線
解答：x=0與y=0都是函數(shù)的間斷線。 |
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偏導數(shù) |
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在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道導數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)我們同樣要研究它的"變化率"。然而，由于自變量多了一個，情況就要復雜的多.在xOy平面內(nèi)，當變點由(x0,y0)沿不同方向變化時，函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般說來時不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。
在這里我們只學習(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時f(x,y)的變化率。
偏導數(shù)的定義
設有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點.把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應地函數(shù)
z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)
△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).
如果△xz與△x之比當△x→0時的極限
 存在，
那末此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)。
記作：f'x(x0,y0)或
關(guān)于對x的偏導數(shù)的問題
函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)，實際上就是把y固定在y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導數(shù)
同樣，把x固定在x0,讓y有增量△y,如果極限
 存在，
那末此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導數(shù).
記作f'y(x0,y0)或
偏導數(shù)的求法
當函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數(shù)f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，
我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導，
那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導。
此時，對應于域D的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導數(shù)，因而在域D確定了一個新的二元函數(shù)，
稱為f(x,y)對x(對y)的偏導函數(shù)。簡稱偏導數(shù)。
例題：求z=x2siny的偏導數(shù)
解答：把y看作常量對x求導數(shù)，得
把x看作常量對y求導數(shù)，得
注意：二元函數(shù)偏導數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù)。
例題：求 的偏導數(shù)。
解答：我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導數(shù)的求法來做。
把y和z看成常量對x求導，得 .
把x和z看成常量對y求導，得 .
把x和y看成常量對z求導，得 .
高階偏導數(shù)
如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導，
那末這兩個偏導函數(shù)的偏導數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導數(shù)。
二元函數(shù)的二階偏導數(shù)有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意：f"xy與f"yx的區(qū)別在于：前者是先對x求偏導，然后將所得的偏導函數(shù)再對y求偏導；后者是先對y求偏導再對x求偏導.當f"xy與f"yx都連續(xù)時，求導的結(jié)果于求導的先后次序無關(guān)。
例題：求函數(shù) 的二階偏導數(shù).
解答： ， ， |
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全微分 |
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我們已經(jīng)學習了一元函數(shù)的微分的概念了，現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學習多元函數(shù)的的全增量，從而把微分的概念推廣到多元函數(shù)。
這里我們以二元函數(shù)為例。
全微分的定義
函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)分別與自變量的增量△x,△y乘積之和
f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y
若該表達式與函數(shù)的全增量△z之差，
當ρ→0時，是ρ( )
的高階無窮小，
那末該表達式稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)處(關(guān)于△x,△y)的全微分。
記作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y
注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是當ρ→0時的無窮小)
注意：在找函數(shù)相應的全增量時，為了使△z與偏導數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們把由(x0,y0)變到(x0+△x,y0+△y)的過程分為兩部：先由點(x0,y0)變到點(x0,y0+△y)，再變到點(x0+△x,y0+△y).其過程如下圖所示：
例題：求 的全微分
解答：由于 ，
所以
關(guān)于全微分的問題
如果偏導數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)連續(xù)，那末z=f(x,y)一定可微。 |
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多元復合函數(shù)的求導法 |
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在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道，復合函數(shù)的求導公式在求導法中所起的重要作用，對于多元函數(shù)來說也是如此。下面我們來學習多元函數(shù)的復合函數(shù)的求導公式。我們先以二元函數(shù)為例：
多元復合函數(shù)的求導公式
鏈導公式：
設 均在(x,y)處可導,函數(shù)z=F(u,v)在對應的(u,v)處有連續(xù)的一階偏導數(shù),
那末,復合函數(shù) 在(x,y)處可導,且有鏈導公式：
例題：求函數(shù) 的一階偏導數(shù)
解答：令
由于
而
由鏈導公式可得：
其中
上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。
一個多元復合函數(shù)，其一階偏導數(shù)的個數(shù)取決于此復合函數(shù)自變量的個數(shù)。在一階偏導數(shù)的鏈導公式中，項數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個數(shù)。
全導數(shù)
由二元函數(shù)z=f(u,v)和兩個一元函數(shù) 復合起來的函數(shù) 是x的一元函數(shù).
這時復合函數(shù)的導數(shù)就是一個一元函數(shù)的導數(shù) ,稱為全導數(shù).
此時的鏈導公式為:
例題：設z=u2v，u=cosx，v=sinx，求
解答：由全導數(shù)的鏈導公式得：
將u=cosx，v=sinx代入上式，得：
關(guān)于全導數(shù)的問題
全導數(shù)實際上是一元函數(shù)的導數(shù)，只是求導的過程是借助于偏導數(shù)來完成而已。 |
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多元函數(shù)的極值 |
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在一元函數(shù)中我們看到，利用函數(shù)的導數(shù)可以求得函數(shù)的極值，從而可以解決一些最大、最小值的應用問題。多元函數(shù)也有類似的問題，這里我們只學習二元函數(shù)的極值問題。
二元函數(shù)極值的定義
如果在(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(x,y)恒有等式：
f(x,y)≤f(x0,y0)
成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極大值f(x0,y0)；如果恒有等式：
f(x,y)≥f(x0,y0)
成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極小值f(x0,y0).
極大值與極小值統(tǒng)稱極值.使函數(shù)取得極值的點(x0,y0)稱為極值點.
二元可導函數(shù)在(x0,y0)取得極值的條件是： .
注意：此條件只是取得極值的必要條件。
凡是使的點(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的駐點.可導函數(shù)的極值點必為駐點，但駐點卻不一定是極值點。
二元函數(shù)極值判定的方法
設z=f(x,y)在(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導數(shù).如果，那末函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)取得極值的條件如下表所示：
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其中
例題：求 的極值。
解答：設 ,則
 ， .
 .
解方程組 ，得駐點(1,1),(0,0).
對于駐點(1,1)有 ,故
B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0
因此，在點(1,1)取得極小值f(1,1)=-1.
對于駐點(0,0)有 ,故
B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0
因此，在點(0,0)不取得極值.
多元函數(shù)的最大、最小值問題
我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟，對于多元函數(shù)的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。下面我們給出實際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。如下：
a)：根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定其定義域；
b)：求出駐點；
c)：結(jié)合實際意義判定最大、最小值.
例題：在平面3x+4y-z=26上求一點，使它與坐標原點的距離最短。
解答：a)：先建立函數(shù)關(guān)系,確定定義域
求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方
最小的問題.但是P點位于所給的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系:
 ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞
b)：求駐點
解 得唯一駐點x=3，y=4.由于點P在所給平面上,故可知
z=-1
c)：結(jié)合實際意義判定最大、最小值
由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個最小值就是極小值.而函數(shù)
僅有唯一的駐點.所以，平面上與原點距離最短的點為P(3,4,-1).
從上例我們可以看出，上面函數(shù)關(guān)系也可看成是：求三元函數(shù)
，
在約束條件
3x+4y-z=26
下的最小值.一個多元函數(shù)在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值。 |
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空間直角坐標系 |
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空間點的直角坐標系
為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現(xiàn)。
過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。(如下圖所示)
三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱坐標面。
取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數(shù)組之間的對應關(guān)系。
例：設點M為空間一已知點.我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z.于是空間的一點M就唯一的確定了一個有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點M的坐標，并依次稱x,y和z為點M的橫坐標，縱坐標和豎坐標。(如下圖所示)
坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).
這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應關(guān)系。
注意：坐標面上和坐標軸上的點，其坐標各有一定的特征.
例：如果點M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點，y=0；如果點M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點，
則x=y=z=0，等。
空間兩點間的距離
設M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有公式：
例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形△ABC是一等腰三角形.
解答：由兩點間距離公式得：
由于 ，所以△ABC是一等腰三角形 |
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方向余弦與方向數(shù) |
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解析幾何中除了兩點間的距離外，還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。
方向角與方向余弦
設有空間兩點 ，若以P1為始點，另一點P2為終點的線段稱為有向線段.記作 .通過原點作一與其平行且同向的有向線段 .將與Ox,Oy,Oz三個坐標軸正向夾角分別記作α,β,γ.這三個角α,β,γ稱為有向線段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.
關(guān)于方向角的問題
若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。
方向角的余弦 稱為有向線段或相應的有向線段的方向余弦。
設有空間兩點，則其方向余弦可表示為：
從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關(guān)系式：
注意：從原點出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點坐標。
方向數(shù)
方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。這三個與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)，記作：{A，B，C}.即：
據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式：
 ， ，
其中：根式取正負號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。
關(guān)于方向數(shù)的問題
空間任意兩點坐標之差就是聯(lián)結(jié)此兩點直線的一組方向數(shù)。
兩直線的夾角
設L1與L2是空間的任意兩條直線，它們可能相交，也可能不相交.通過原點O作平行與兩條直線的線段 .則線段的夾角稱為此兩直線L1與L2的夾角.
若知道L1與L2的方向余弦則有公式為：
其中：θ為兩直線的夾角。
若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為：
兩直線平行、垂直的條件
兩直線平行的充分必要條件為：
兩直線垂直的充分必要條件為：
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平面與空間直線 |
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平面及其方程
我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。
設給定點為Po(x0,y0,z0),給定法線n的一組方向數(shù)為{A,B,C}A2+B2+C2≠0，則過此定點且以n為法線的平面方程可表示為：
注意：此種形式的方程稱為平面方程的點法式。
例題：設直線L的方向數(shù)為{3，-4，8}，求通過點(2,1,-4)且垂直于直線L的平面方程.
解答：應用上面的公式得所求的平面方程為：
即
我們把形式為：
Ax+By+Cz+D=0.
稱為平面方程的一般式。其中x,y,z的系數(shù)A，B，C是平面的法線的一組方向數(shù)。
幾種特殊位置平面的方程
1、通過原點
其平面方程的一般形式為：
Ax+By+Cz=0.
2、平行于坐標軸
平行于x軸的平面方程的一般形式為：
By+Cz+D=0.
平行于y軸的平面方程的一般形式為：
Ax+Cz+D=0.
平行于z軸的平面方程的一般形式為：
Ax+By+D=0.
3、通過坐標軸
通過x軸的平面方程的一般形式為：
By+Cz=0.
通過y軸和z軸的平面方程的一般形式為：
Ax+Cz=0，Ax+By=0.
4、垂直于坐標軸
垂直于x、y、z軸的平面方程的一般形式為：
Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.
直線及其方程
任一給定的直線都有著確定的方位.但是,具有某一確定方位的直線可以有無窮多條,它們相互平行.如果要求直線再通過某一定點,則直線便被唯一確定，因而此直線的方程就可由通過它的方向數(shù)和定點的坐標表示出來。
設已知直線L的方向數(shù)為{l,m,n}，又知L上一點Po(x0,y0,z0),則直線L的方程可表示為：
上式就是直線L的方程，這種方程的形式被稱為直線方程的對稱式。
直線方程也有一般式，它是有兩個平面方程聯(lián)立得到的，如下：
這就是直線方程的一般式。
平面、直線間的平行垂直關(guān)系
對于一個給定的平面，它的法線也就可以知道了。因此平面間的平行與垂直關(guān)系，也就轉(zhuǎn)化為直線間的平行與垂直關(guān)系。平面與直線間的平行與垂直關(guān)系，也就是平面的法線與直線的平行與垂直關(guān)系。
總的來說，平面、直線間的垂直與平行關(guān)系，最終都轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行與垂直關(guān)系。在此我們就不列舉例題了。 |
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曲面與空間曲線 |
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曲面的方程
我們知道，在平面解析幾何中可把曲線看成是動點的軌跡.因此，在空間中曲面可看成是一個動點或一條動曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運動而產(chǎn)生的軌跡。
設曲面上動點P的坐標為(x,y,z)，由這一條件或規(guī)律就能導出一個含有變量x,y,z的方程：
如果此方程當且僅當P為曲面上的點時，才為P點的坐標所滿足。那末我們就用這個方程表示曲面，并稱這個方程為曲面的方程，把這個曲面稱為方程的圖形。
空間曲線的方程
我們知道，空間直線可看成兩平面的交線，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來表示，這就是直線方程的一般式。
一般地，空間曲線也可以象空間直線那樣看成是兩個曲面的交線，因而空間曲線的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來表示。
設有兩個相交曲面，它們的方程是 ， ，那末聯(lián)立方程組：
便是它們的交線方程。
兩類常見的曲面
1、柱面
設有動直線L沿一給定的曲線C移動，移動時始終與給定的直線M平行，這樣由動直線L所形成的曲面稱為柱面，動直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準線。
2、旋轉(zhuǎn)面
設有一條平面曲線C，繞著同一平面內(nèi)的一條直線L旋轉(zhuǎn)一周，這樣由C旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)面的軸。
下面我們再列舉出幾種常見的二次曲面
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定積分的概念 |
我們先來看一個實際問題---求曲邊梯形的面積。
設曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示：
現(xiàn)在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？
我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面積公式，即可求出相應窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。
顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。
定積分的概念
設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點
a=x0<x1<...<xn-1<xn=b
把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間
[x0，x1]，...[xn-1,xn],
在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi，
并作出和 ，
如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點ξi怎樣取法，只要當區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，
這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，
記作 。
即：
關(guān)于定積分的問題
我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？
定理(1)：設f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。
(2)：設f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。
定積分的性質(zhì)
性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差).
即：
性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面.
即：
性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤
(a<b)
性質(zhì)(4)：設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則 m(b-a)≤≤M(b-a)
性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點ξ，使下式成立：
=f(ξ)(b-a)
注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。 |
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微積分積分公式 |
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積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設x為[a,b]上的一點.現(xiàn)在我們來考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分  ,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。
如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)，記作φ(x): 
注意：為了明確起見，我們改換了積分變量(定積分與積分變量的記法無關(guān))
定理(1)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上具有導數(shù)，
并且它的導數(shù)是
(a≤x≤b)
(2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)。
注意：定理(2)即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。牛頓--萊布尼茲公式 定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則 
注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分)之間的聯(lián)系。
它表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數(shù)再去見[a,b]上的增量。因此它就
給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。
例題：求
解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：
注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。 |
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定積分的換元法與分部積分法 |
定積分的換元法
我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。
定理：設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導數(shù)；當t在區(qū)間[m,n]上變化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:
例題:計算
解答:設x=asint,則dx=acostdt,且當x=0時，t=0；當x=a時，t=π/2.于是：
注意：在使用定積分的換元法時，當積分變量變換時，積分的上下限也要作相應的變換。
定積分的分部積分法
計算不定積分有分部積分法，相應地，計算定積分也有分部積分法。
設u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分，并移向得：
上式即為定積分的分部積分公式。
例題：計算
解答：設 ，且當x=0時，t=0；當x=1時，t=1.由前面的換元公式得：
再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是：
故： |
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廣義積分 |
在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點的積分，它們已不屬于前面我們所學習的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是---廣義積分。
一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分
設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取b>a.如果極限
 存在，
則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞)上的廣義積分，
記作： ，
即：=.
此時也就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時雖然用同樣的記號，但它已不表示數(shù)值了。
類似地，設函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，b]上連續(xù)，取a<b.如果極限
 存在，
則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞，b]上的廣義積分，
記作： ，
即：=.
此時也就是說廣義積分收斂。如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。
如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞,+∞)上的廣義積分，
記作： ，
即：=
上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。
例題：計算廣義積分
解答： |
二：積分區(qū)間有無窮間斷點的廣義積分
設函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，而 .取ε>0，如果極限
 存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分，
仍然記作： .
即：=，
這時也說廣義積分收斂.如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。
類似地，設f(x)在[a,b)上連續(xù)，而 .取ε>0，如果極限
 存在，
則定義=；
否則就說廣義積分發(fā)散。
又，設f(x)在[a,b]上除點c(a<c<b)外連續(xù)，而 .如果兩個廣義積分 和 都收斂，
則定義：=+.
否則就說廣義積分發(fā)散。
例題：計算廣義積分 (a>0)
解答：因為 ，所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點，于是我們有上面所學得公式可得：
 |
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不定積分的概念 |
原函數(shù)的概念
已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有
dF'(x)=f(x)dx，
則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。
例：sinx是cosx的原函數(shù)。
關(guān)于原函數(shù)的問題
函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？
我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，
即：F"(x)=f(x)，
則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù))中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，
故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個.
不定積分的概念
函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，
記作 。
由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族
F(x)+C.
即:=F(x)+C
例題：求： .
解答：由于 ，故=
不定積分的性質(zhì)
1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；
即：
2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，
即： |
|
求不定積分的方法 |
換元法
換元法(一)：設f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù).
即有換元公式:
例題：求
解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。
設u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
換元法(二)：設x=g(t)是單調(diào)的，可導的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ(t)，
則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù))
即有換元公式:
例題：求
解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元.
設x=asint(-π/2<t<π/2)，那末 ，dx=acostdt,于是有：
關(guān)于換元法的問題
不定積分的換元法是在復合函數(shù)求導法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習。
分部積分法
這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導法則得來的。
設函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導公式為：
(uv)'=u'v+uv'，移項，得
uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：
 ，
這就是分部積分公式
例題：求
解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。
設u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：
關(guān)于分部積分法的問題
在使用分部積分法時，應恰當?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點：
(1)v要容易求得；
(2) 容易積出。 |
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幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例 |
有理函數(shù)的積分舉例
有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式，
反之為真分式。
在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。
例題：求
解答：
關(guān)于有理函數(shù)積分的問題
有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。
三角函數(shù)的有理式的積分舉例
三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。
例題：求
解答：
關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題
任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應用，在此我
們不再舉例。
簡單無理函數(shù)的積分舉例
例題：求
解答：設 ，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：
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微分學中值定理 |
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在給出微分學中值定理的數(shù)學定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下： |
設有連續(xù)函數(shù) ，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，
差商 就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為 ，由于切線與割線是平行的，因此
 成立。
注：這個結(jié)果就稱為微分學中值定理，也稱為拉格朗日中值定理 |
拉格朗日中值定理
如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使
 成立。 |
這個定理的特殊情形，即： 的情形，稱為羅爾定理。描述如下：
若 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且 ，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使 成立。
注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。
注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍 |
下面我們在學習一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理--柯西中值定理
柯西中值定理
如果函數(shù) ， 在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且≠0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使 成立。 |
例題：證明方程 在0與1之間至少有一個實根
證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端 是函數(shù) 的導數(shù)：
函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且 ，由羅爾定理
可知，在0與1之間至少有一點c，使 ，即
也就是：方程在0與1之間至少有一個實根 |
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未定式問題 |
問題：什么樣的式子稱作未定式呢？
答案：對于函數(shù),來說，當x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大
則極限 可能存在，也可能不存在，我們就把式子 稱為未定式。分別記為 型 |
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我們?nèi)菀字�，對于未定式的極限求法，是不能應用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？
下面我們來學習羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案
注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。 |
羅彼塔(L'Hospital)法則
當x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(nèi)(或當│x│＞N)時， 與 都存在，≠0，且 存在
則：=
這種通過分子分母求導再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則
注：它是以前求極限的法則的補充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。 |
例題：求
解答：容易看出此題利用以前所學的法則是不易求解的，因為它是未定式中的 型求解問題，因此我們就可以利用上面所學的法則了。
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例題：求
解答：此題為未定式中的 型求解問題，利用羅彼塔法則來求解
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另外，若遇到 、 、
 、
 、
 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。 |
例題：求
解答：此題利用以前所學的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解，
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注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。 |
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函數(shù)單調(diào)性的判定法 |
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函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？
我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數(shù)的導數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數(shù)導數(shù)的正負來判定函數(shù)的增減性. |
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判定方法：
設函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導.
a)：如果在(a,b)內(nèi)＞0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加；
b)：如果在(a,b)內(nèi)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少. |
例題：確定函數(shù) 的增減區(qū)間.
解答：容易確定此函數(shù)的定義域為(－∞,+∞)
其導數(shù)為： ，因此可以判出：
當x＞0時，＞0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)；
當x＜0時，＜0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)；
注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。 |
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函數(shù)的極值及其求法
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在學習函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子：
設有函數(shù) ，容易知道點x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點，又可知在點x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點x=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外)，＜ 均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢？
事實上，這就是我們將要學習的內(nèi)容--函數(shù)的極值， |
函數(shù)極值的定義
設函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點.
若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，＜ 均成立，
則說是函數(shù)的一個極大值；
若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，＞均成立，
則說是函數(shù)的一個極小值.
函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。
我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？
學習這個問題之前，我們再來學習一個概念--駐點
凡是使 的x點，稱為函數(shù)的駐點。
判斷極值點存在的方法有兩種：如下 |
方法一：
設函數(shù)在x0點的鄰域可導，且 .
情況一：若當x取x0左側(cè)鄰近值時，＞0，當x取x0右側(cè)鄰近值時，＜0，
則函數(shù)在x0點取極大值。
情況一：若當x取x0左側(cè)鄰近值時，＜0，當x取x0右側(cè)鄰近值時，＞0，
則函數(shù)在x0點取極小值。
注：此判定方法也適用于導數(shù)在x0點不存在的情況。
用方法一求極值的一般步驟是：
a)：求；
b)：求的全部的解--駐點；
c)：判斷在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。 |
例題：求 極值點
解答：先求導數(shù)
再求出駐點：當時，x=-2、1、-4/5
判定函數(shù)的極值，如下圖所示
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方法二：
設函數(shù)在x0點具有二階導數(shù)，且時 .
則：a)：當 ＜0，函數(shù)在x0點取極大值；
b)：當＞0，函數(shù)在x0點取極小值；
c)：當=0，其情形不一定，可由方法一來判定. |
例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。
解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導數(shù)。
 ，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定；
 ＜0，故此點為極大值點；
 ＞0，故此點為極小值點。 |
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函數(shù)的最大值、最小值及其應用 |
在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。
這類問題在數(shù)學上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。
怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點，加上端點 的值，從中取得最大值、最小值即為所求。 |
例題：求函數(shù) ，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。
解答：在此區(qū)間處處可導，
先來求函數(shù)的極值 ，故x=±1，
再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。
因為 ， ， ，
故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。 |
例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應怎樣配，使同樣容積下材料最��？
解答：由題意可知： 為一常數(shù)，
面積
故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。
故： 時，用料最省。 |
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曲線的凹向與拐點 |
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通過前面的學習，我們知道由一階導數(shù)的正負，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。
定義：
對區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。 |
曲線凹向的判定定理
定理一：設函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導，它對應曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是：
導數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。
定理二：設函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導，并且具有一階導數(shù)和二階導數(shù)；那末：
若在(a,b)內(nèi)， ＞0，則在[a,b]對應的曲線是下凹的；
若在(a,b)內(nèi)，＜0，則在[a,b]對應的曲線是上凹的； |
例題：判斷函數(shù) 的凹向
解答：我們根據(jù)定理二來判定。
因為 ，所以在函數(shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)， ＜0，
故函數(shù)所對應的曲線時下凹的。 |
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拐點的定義
連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。 |
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拐定的判定方法
如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點。
(1)：求；
(2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根；
(3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。 |
例題：求曲線 的拐點。
解答：由 ，
令=0，得x=0，2/3
判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。 |
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