導(dǎo)數(shù)的概念
在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來(lái)討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問(wèn)題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置x是時(shí)間t的函數(shù)，
，求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時(shí)速度？我們知道時(shí)間從t0有增量△t時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量 
，這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段△t的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：
.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在t0的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段△t無(wú)限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無(wú)限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即：質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度=
為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：
導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)
在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量
，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在，則稱(chēng)這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：
還可記為：
，
函數(shù)
在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。
注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限
左、右導(dǎo)數(shù)
前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限
存在，我們就稱(chēng)它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限
存在，我們就稱(chēng)它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。
注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件
函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則
函數(shù)的和差求導(dǎo)法則
法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫(xiě)為：
。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。
例題：已知
，求
解答：
例題：已知
，求
解答：
函數(shù)的積商求導(dǎo)法則
常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則
法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫(xiě)成：
例題：已知
，求
解答：
函數(shù)的積的求導(dǎo)法則
法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫(xiě)成：
例題：已知
，求
解答：
注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。
函數(shù)的商的求導(dǎo)法則
法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫(xiě)成：
例題：已知
，求
解答：
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來(lái)看一個(gè)例子!
例題：求
=?
解答：由于
，故
這個(gè)解答正確嗎?
這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下：
我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是是對(duì)自變量x求導(dǎo)，而不是對(duì)2x求導(dǎo)。
下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則
規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：
，其中u為中間變量
例題：已知
，求
解答：設(shè)
,則可分解為
,因此
注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。
例題：已知
，求
解答：
反函數(shù)求導(dǎo)法則
根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)
,它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：
定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且
，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有： 
注：通過(guò)此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒(méi)有對(duì)它作記號(hào)變換。
即： 
是對(duì)y求導(dǎo)，
是對(duì)x求導(dǎo)
例題：求
的導(dǎo)數(shù).
解答：此函數(shù)的反函數(shù)為
，故
則：
例題：求
的導(dǎo)數(shù).
解答：此函數(shù)的反函數(shù)為
，故
則：
高階導(dǎo)數(shù)
我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即： 
，而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率，即速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)： 
，或
。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)
叫做s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：
定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作
或
，即：
或
.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).
分別記作：
，
，…，
或
，
，…，
二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。
例題：已知
，求 解答：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/247206/1010jiajiao.files/image186.gif">=a，故=0
例題：求對(duì)數(shù)函數(shù)
的n階導(dǎo)數(shù)。
解答：
，
，
，
，
一般地，可得
隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則
我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說(shuō)方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題！
隱函數(shù)的求導(dǎo)
若已知F(x,y)=0，求時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：
a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；
b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。
例題：已知
，求
解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)， 
，
，故=
注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。
例題：求隱函數(shù)
，在x=0處的導(dǎo)數(shù)
解答：兩邊對(duì)x求導(dǎo)
，故
，當(dāng)x=0時(shí)，y=0.故
。
有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒(méi)有一種比較直觀的方法呢？下面我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。
例題：已知
x＞0，求
此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)便些。如下
解答：先兩邊取對(duì)數(shù)： 
，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/247206/1010jiajiao.files/image254.gif">，所以
例題：已知
，求
此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)
解答：先兩邊取對(duì)數(shù)
再兩邊求導(dǎo)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/247206/1010jiajiao.files/image258.gif">，所以
函數(shù)的微分
學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來(lái)分析一個(gè)具體問(wèn)題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長(zhǎng)由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？
解答：設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為x，面積為A，則A是x的函數(shù)：
薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：
。從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分
是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分
即圖中的黑色部分，
當(dāng)△x→0時(shí)，它是△x的高階無(wú)窮小，表示為：
由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長(zhǎng)變化的很小時(shí)，面積的改變量可以近似的用地一部分來(lái)代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：
函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為
，其中A是不依賴(lài)于△x的常數(shù)，是△x的高階無(wú)窮小，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。
叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：
=。
通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無(wú)窮小量，我們把dy稱(chēng)作△y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時(shí)，△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為： 
，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：
由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。
微分形式不變性
什么是微分形式不邊形呢？
設(shè) ，則復(fù)合函數(shù) 的微分為：
 ，
由于 ，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫(xiě)成
由此可見(jiàn)，不論u是自變量還是中間變量， 的微分dy總可以用 與du的乘積來(lái)表示，
我們把這一性質(zhì)稱(chēng)為微分形式不變性。
例題：已知 ，求dy
解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則
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通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)
的運(yùn)算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是怎樣的呢？
下面我們來(lái)學(xué)習(xí)---基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 |
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基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 |
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基本初等函數(shù)的微分公式
由于函數(shù)微分的表達(dá)式為： ，于是我們通過(guò)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來(lái)把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對(duì)比一下：(部分公式)
|
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微分運(yùn)算法則
由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來(lái)把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)照一下：
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復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。 |
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例題：設(shè) ，求對(duì)x3的導(dǎo)數(shù)
解答：根據(jù)微分形式的不變性
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微分的應(yīng)用
微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計(jì)算函數(shù)的增量，有時(shí)比較困難，但計(jì)算微分則比較簡(jiǎn)單，為此我們用函數(shù)的微分來(lái)近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.
例題：求 的近似值。
解答：我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問(wèn)題
故其近似值為1.025(精確值為1.024695) |
10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則
前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類(lèi)特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。
⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則
若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，
.
則： 
推論：
在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。
例題：求
解答：
例題：求
此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒(méi)有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來(lái)。
解答：
注：通過(guò)此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒(méi)有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。
函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則
學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來(lái)學(xué)習(xí)一下左、右的概念。
我們先來(lái)看一個(gè)例子：
例：符號(hào)函數(shù)為
對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。
定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無(wú)限接近，則稱(chēng)A為函數(shù)當(dāng)
時(shí)的左極限.記：
如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無(wú)限接近，則稱(chēng)A為函數(shù)當(dāng)
時(shí)的右極限.記：
注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱(chēng)在x→x0時(shí)有極限
函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則
準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x)有
≤≤
，且
，
那末
存在，且等于A
注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.
準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.
注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界
兩個(gè)重要的極限
一：
注：其中e為無(wú)理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045...
二：
注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.
注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們.
例題：求
解答：令
，則x=-2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞，
則
注：解此類(lèi)型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0.
無(wú)窮大量和無(wú)窮小量
無(wú)窮大量
我們先來(lái)看一個(gè)例子：
已知函數(shù)
，當(dāng)x→0時(shí)，可知
，我們把這種情況稱(chēng)為趨向無(wú)窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)
時(shí)，
成立，則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)
時(shí)為無(wú)窮大量。
記為：
(表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒(méi)有極限的)
同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)，無(wú)限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)
時(shí)，成立，則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無(wú)窮大量，記為：
無(wú)窮小量
以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量。
定義：設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對(duì)于適合不等式(或)的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式
，則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時(shí) 為無(wú)窮小量.
記作：
(或
)
注意：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無(wú)窮小量的唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.
關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理
定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差
是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量，反之亦成立。
定理二：無(wú)窮小量的有利運(yùn)算定理
a)：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量； b)：有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量；c)：常數(shù)與無(wú)窮小量的積也是無(wú)窮小量.
無(wú)窮小量的比較
通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差及乘積仍舊是無(wú)窮小.那么兩個(gè)無(wú)窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來(lái)我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無(wú)窮小量的比較。
定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無(wú)窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，
a)：如果
，則稱(chēng)α是β的高階無(wú)窮小或β是α的低階無(wú)窮��；
b)：如果
，則稱(chēng)α和β是同階無(wú)窮��；
c)：如果
，則稱(chēng)α和β是等價(jià)無(wú)窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià))
例：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/247206/1010jiajiao.files/image130.gif">，所以當(dāng)x→0時(shí)，x與3x是同階無(wú)窮��；
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/247206/1010jiajiao.files/image132.gif">，所以當(dāng)x→0時(shí)，x2是3x的高階無(wú)窮�。�
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/247206/1010jiajiao.files/image133.gif">，所以當(dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小。
等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)
設(shè)
，且
存在，則
.
注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題。
例題：1.求
解答：當(dāng)x→0時(shí)，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
例題： 2.求
解答：
注：
注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無(wú)窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。
函數(shù)的一重要性質(zhì)--連續(xù)性
在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性
在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念--增量
設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可負(fù).
我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從
變到
，其對(duì)應(yīng)的增量為：
這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：
現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：
，那末就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。
函數(shù)連續(xù)性的定義：
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有
稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱(chēng)x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).
下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限
存在且等于
，即：=，那末我們就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限
存在且等于
，即：=，那末我們就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).
一個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱(chēng)為連續(xù)函數(shù)。
注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).
注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。
通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題：函數(shù)的間斷點(diǎn)
函數(shù)的間斷點(diǎn)
定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱(chēng)之為間斷點(diǎn).
|
它包括三種情形： |
a)：在x0無(wú)定義； |
|
|
b)：在x→x0時(shí)無(wú)極限； |
|
|
c)：在x→x0時(shí)有極限但不等于； |
下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類(lèi)型：
例1： 正切函數(shù)
在
處沒(méi)有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因
，我們就稱(chēng)為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)；
例2：函數(shù)
在點(diǎn)x=0處沒(méi)有定義；故當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次，我們就稱(chēng)點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)；
例3：函數(shù)
當(dāng)x→0時(shí)，左極限
，右極限
，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來(lái)如下:
間斷點(diǎn)的分類(lèi)
我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).
可去間斷點(diǎn)
若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令
，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)。
連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性
連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性
我們通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：
a)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；
b)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；
c)：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)；
反函數(shù)的連續(xù)性
若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)
例：函數(shù)
在閉區(qū)間
上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。
復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性
設(shè)函數(shù)
當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于a，即：
.而函數(shù)在點(diǎn)u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限也存在且等于.即：
例題：求
解答：
注：函數(shù)
可看作
與
復(fù)合而成，且函數(shù)在點(diǎn)u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且
，而函數(shù)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的
初等函數(shù)的連續(xù)性
通過(guò)前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.
閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來(lái)學(xué)習(xí)一下： 最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明) 例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點(diǎn)x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)x=3π/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值。
介值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：
，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個(gè)ξ，使
推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。
9、函數(shù)的極限
前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類(lèi)特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.
函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無(wú)限增大；b)：自變量無(wú)限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?
下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!
⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)
a):自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限
定義：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式 
的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式
那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作：
下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：
|
數(shù)列的極限的定義 |
函數(shù)的極限的定義 |
存在數(shù)列 與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對(duì)于n＞N的所有 都滿足 ＜ε則稱(chēng)數(shù)列，當(dāng)x→∞時(shí)收斂于A記： 。 |
存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限為A，記：。 |
 |
 |
從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？？試思考之
b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來(lái)看一個(gè)例子.
例：函數(shù)
，當(dāng)x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=1處無(wú)定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出,如下圖:
從中我們可以看出x→1時(shí)，→2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說(shuō)：只要與2只差一個(gè)微量ε，就一定可以找到一個(gè)δ，當(dāng)
＜δ時(shí)滿足
＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對(duì)任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜
＜δ時(shí)，
＜ε則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)存在極限，且極限為A，記：
。
注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙→x0的過(guò)程，與x=x0出的情況無(wú)關(guān)。此定義的核心問(wèn)題是：對(duì)給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。
有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？
a):先任取ε＞0；
b):寫(xiě)出不等式＜ε；
c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；
d):則對(duì)于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε成立，因此
8、數(shù)列的極限
我們先來(lái)回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。
⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱(chēng)這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).
注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=
，它的定義域是全體正整數(shù)
⑵、極限：極限的概念是求實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。
例：我們可通過(guò)作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。
設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，An也無(wú)限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，… 當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無(wú)窮大)的極限。
注：上面這個(gè)例子就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。
⑶、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列
來(lái)說(shuō)，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n＞N時(shí)的一切
不等式
都成立，那末就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱(chēng)數(shù)列收斂于a .
記作：
或
注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無(wú)限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。
⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋?zhuān)涸诖宋覀兛赡懿灰桌斫膺@個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋?zhuān)允刮覀兡芾斫馑�。�?shù)列極限為a的一個(gè)幾何解釋?zhuān)簩⒊?shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的ε鄰域即開(kāi)區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：
因不等式與不等式
等價(jià)，故當(dāng)n＞N時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開(kāi)區(qū)間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。
注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。
⑸、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱(chēng)數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說(shuō)數(shù)列是無(wú)界的。
定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。
注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，… 是有界的，但它是發(fā)散的。
7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)
⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來(lái)描述)
|
函數(shù)的名稱(chēng) |
函數(shù)的表達(dá)式 |
函數(shù)的圖形 |
函數(shù)的性質(zhì) |
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雙曲正弦 |
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a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；
b)：是奇函數(shù)；
c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增 |
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雙曲余弦 |
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a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；
b)：是偶函數(shù)；
c)：其圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)； |
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雙曲正切 |
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a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；
b)：是奇函數(shù)；
c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增； |
我們?cè)賮?lái)看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：
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雙曲函數(shù)的性質(zhì) |
三角函數(shù)的性質(zhì) |
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shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù) |
sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù) |
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它們都不是周期函數(shù) |
都是周期函數(shù) |
雙曲函數(shù)也有和差公式：
⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱(chēng)為反雙曲函數(shù).
a)：反雙曲正弦函數(shù) 
其定義域?yàn)椋?-∞,+∞)；
b)：反雙曲余弦函數(shù)
其定義域?yàn)椋篬1,+∞)；
c)：反雙曲正切函數(shù)
其定義域?yàn)椋?-1,+1)；
6、初等函數(shù)
⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來(lái)把它們總結(jié)一下：
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函數(shù)名稱(chēng) |
函數(shù)的記號(hào) |
函數(shù)的圖形 |
函數(shù)的性質(zhì) |
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指數(shù)函數(shù) |
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a):不論x為何值,y總為正數(shù);
b):當(dāng)x=0時(shí),y=1. |
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對(duì)數(shù)函數(shù) |
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a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(guò)(1,0)點(diǎn)
b):當(dāng)a＞1時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增. |
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冪函數(shù) |
 a為任意實(shí)數(shù) |
這里只畫(huà)出部分函數(shù)圖形的一部分。 |
令a=m/n
a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù);
b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù);
c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-∞,0)無(wú)意義. |
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三角函數(shù) |
(正弦函數(shù))
這里只寫(xiě)出了正弦函數(shù) |
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a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)
b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且 |
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反三角函數(shù) |
(反正弦函數(shù))
這里只寫(xiě)出了反正弦函數(shù) |
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a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱(chēng)其為反正弦函數(shù)的主值. |
⑵、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù).
例題：
是初等函數(shù)。
5、復(fù)合函數(shù)
復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且
的函數(shù)值的全部或部分在
的定義域內(nèi)，那末，y通過(guò)u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱(chēng)后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。
注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。
例題：函數(shù)
與函數(shù)
是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。
因?yàn)閷?duì)于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值(都大于或等于2)，使都沒(méi)有定義。
4、反函數(shù)
⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對(duì)應(yīng)，即
，那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用來(lái)表示，稱(chēng)為函數(shù)的反函數(shù).
注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。
⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)?R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減).
注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)
例題：y=x2，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞).對(duì)于y取定的非負(fù)值,可求得x=±
.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒(méi)有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對(duì)y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減).
⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的。
例題：函數(shù)
與函數(shù)
互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的。如右圖所示：
3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)
⑴、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個(gè)與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱(chēng)f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱(chēng)無(wú)界。
注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱(chēng)為有界函數(shù)
例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.
⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有 
，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有
，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。
例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。
⑶、函數(shù)的奇偶性
如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足
=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。
注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。
⑷、函數(shù)的周期性
對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式
對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。
注：我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。
例題：函數(shù)
是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。
2、函數(shù)
⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值(或因變量)，變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來(lái)表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來(lái)表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。
⑵、函數(shù)相等
由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱(chēng)兩個(gè)函數(shù)相等。
⑶、域函數(shù)的表示方法
a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。
c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來(lái)表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：
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