新課程能力培養(yǎng)九年級數(shù)學(xué)北師大版
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19. 如圖，小張和小李想測量學(xué)校旗桿的高度，她們來到操場，小張測得小李身高1.6m，在陽光下的影子長度為2.4m，她想立刻測量旗桿的影長時(shí)，因旗桿靠近一教學(xué)樓，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，測得落在地面上的影長為12m，留在墻上的影高為2m，求旗桿的高度。
答案：10m，過程如下：
設(shè)旗桿高度為h，過墻上影子頂端作水平線交旗桿于點(diǎn)E，則旗桿被分為EB=2m和AE=h - 2m。
由相似三角形性質(zhì)，$\frac{小李身高}{小李影長}=\frac{AE}{地面影長}$，即$\frac{1.6}{2.4}=\frac{h - 2}{12}$，
解得$h - 2=8$，$h=10m$。
20. 如圖，在□ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B。
（1）求證：△ADF∽△DEC。
（2）若AB=4，AD=3√3，AE=3，求AF的長。
答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B + ∠C=180°。
∵∠AFE=∠B，∠AFE + ∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC。
（2）2√3，過程如下：
∵AE⊥BC，AD=3√3，AE=3，
∴在Rt△ADE中，$DE=\sqrt{AD^2 + AE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2}=6$。
∵AB=4，∴CD=AB=4。
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，即$\frac{AF}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{6}$，
解得$AF=2\sqrt{3}$。
21. 如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm。某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，問：
（1）經(jīng)過多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的$\frac{1}{9}$？
（2）是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。
答案：（1）1s或2s，過程如下：
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則AM=t，AN=6 - 2t（0≤t≤3）。
矩形面積=3×6=18，$\frac{1}{9}$矩形面積=2。
$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}×t×(6 - 2t)=2$，
整理得$t^2 - 3t + 2=0$，
解得t=1或t=2。
（2）存在，t=3/2 s或t=12/5 s，過程如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，CD=AB=3cm，AD=BC=6cm?！螹AN=90°，要使△AMN與△ACD相似，分兩種情況：①當(dāng)△AMN∽△ACD時(shí)，AM/CD=AN/AD，即t/3=(6 - 2t)/6，解得2t=6 - 2t，4t=6，t=3/2；②當(dāng)△AMN∽△CAD時(shí)，AM/AD=AN/CD，即t/6=(6 - 2t)/3，解得t=12 - 4t，5t=12，t=12/5=2.4?！遲=3/2和t=12/5均滿足0≤t≤3，∴t=3/2 s或t=12/5 s。
