新課程能力培養(yǎng)九年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版
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7. 如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn). 求證：OE = OF.
答案：證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AB = AD，且AC⊥BD，即∠AOB = ∠AOD = 90°. 又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，在Rt△AOB中，OE是斜邊AB的中線，則OE = $\frac{1}{2}AB$；在Rt△AOD中，OF是斜邊AD的中線，則OF = $\frac{1}{2}AD$. 由于AB = AD，所以O(shè)E = OF.
8. 如圖，E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)H，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G. 求證：AB與EF互相平分.
答案：證明：連接BD. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，AD∥BC. 又因?yàn)镋F⊥AC，所以EF∥BD. 因?yàn)锳D∥BC，EF∥BD，所以四邊形BDEF是平行四邊形，則DE = BF. 因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以AE = DE，所以AE = BF. 又因?yàn)锳E∥BF，所以四邊形AFBE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，所以AB與EF互相平分.
9. 如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠B = ∠EAF = 60°，∠BAE = 18°. 求∠CEF的度數(shù).
答案：解：連接AC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠B = 60°，所以△ABC和△ADC都是等邊三角形，則AB = AC，∠BAC = ∠ACB = 60°. 因?yàn)椤螮AF = 60°，所以∠BAE+∠EAC = ∠EAC+∠CAF，即∠BAE = ∠CAF. 又因?yàn)椤螧 = ∠ACF = 60°，AB = AC，所以△ABE≌△ACF（ASA），所以AE = AF. 又因?yàn)椤螮AF = 60°，所以△AEF是等邊三角形，所以∠AEF = 60°. 因?yàn)椤螦EC = ∠B+∠BAE = 60° + 18° = 78°，所以∠CEF = ∠AEC - ∠AEF = 78° - 60° = 18°.
10.（2024·廣東）如圖，菱形ABCD的面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的動(dòng)點(diǎn). 若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為___.
答案：10
11.（2024·綏化）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD = 5，BD = 8，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（ ）A. $\frac{24}{5}$ B. 6 C. $\frac{48}{5}$ D. 12
答案：A
12.（2024·濟(jì)南）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為F. 求證：AF = CE.
答案：證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AD = CD，∠D = ∠D. 因?yàn)锳E⊥CD，CF⊥AD，所以∠AED = ∠CFD = 90°. 所以△ADE≌△CDF（AAS），則DE = DF. 因?yàn)锳D - DF = CD - DE，所以AF = CE.
