新課程能力培養(yǎng)九年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版
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7. 根據(jù)下列條件判斷Rt△ABC和Rt△A'B'C'是否相似，其中∠C = ∠C' = 90°。
(1) AC = 14 cm，BC = 6 cm，A'C' = 7 cm，B'C' = 3 cm。
(2) AB = $\sqrt{6}$ cm，AC = $\sqrt{3}$ cm，A'B' = $\sqrt{30}$ cm，A'C' = $\sqrt{15}$ cm。
答案：(1) 因?yàn)?\frac{AC}{A'C'}=\frac{14}{7}=2$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{3}=2$，所以$\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，又因?yàn)椤螩 = ∠C' = 90°，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可知Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'。
(2) 因?yàn)?\frac{AC}{A'C'}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，所以$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，又因?yàn)椤螩 = ∠C' = 90°，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可知Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'。
8. 如圖，在△ABC中，AB = AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），滿足∠DEF = ∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上。
(1) 求證：△BDE∽△CEF。
(2) 當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC。
答案：(1) 因?yàn)锳B = AC，所以∠B = ∠C。
又因?yàn)椤螧 + ∠BDE + ∠BED = 180°，∠DEF + ∠BED + ∠CEF = 180°，且∠DEF = ∠B，所以∠BDE = ∠CEF。
在△BDE和△CEF中，∠B = ∠C，∠BDE = ∠CEF，所以△BDE∽△CEF。
(2) 因?yàn)椤鰾DE∽△CEF，所以$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以BE = CE，那么$\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$，即$\frac{DE}{CE}=\frac{EF}{CF}$。
又因?yàn)椤螪EF = ∠B = ∠C，所以△DEF∽△ECF。
所以∠DFE = ∠EFC，即FE平分∠DFC。
9. 如圖，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，AF平分∠DAC，分別交DC，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn). 連接DF，過(guò)點(diǎn)A作AH∥DF，分別交BD，BF于點(diǎn)G，H。
(1) 求DE的長(zhǎng)。
(2) 請(qǐng)說(shuō)明：∠1 = ∠DFC。
答案：(1) 在矩形ABCD中，AD = BC = 3，CD = AB = 4，∠ADC = 90°。
因?yàn)锳F平分∠DAC，所以∠DAE = ∠CAE。
因?yàn)锳D∥CF，所以∠DAE = ∠F，所以∠CAE = ∠F，所以AC = CF。
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，所以CF = 5。
因?yàn)锳D∥CF，所以△ADE∽△FCE，設(shè)DE = x，則CE = 4 - x，$\frac{DE}{CE}=\frac{AD}{CF}$，即$\frac{x}{4 - x}=\frac{3}{5}$，
5x = 3(4 - x)，5x = 12 - 3x，8x = 12，解得$x=\frac{3}{2}$，所以DE = $\frac{3}{2}$。
(2) 因?yàn)锳H∥DF，所以∠1 = ∠ADF。
因?yàn)锳D∥CF，所以∠ADF = ∠DFC，所以∠1 = ∠DFC。
