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15.(人教A版必修2第144頁練習(xí)第3題)

某圓拱橋的水面跨度20，拱高4.現(xiàn)有一船寬10，水面以上高3，這條船能否從橋下通過？

變式1：某圓拱橋的水面跨度是20，拱高為4.現(xiàn)有一船寬9，在水面以上部分高3，故通行無阻.近日水位暴漲了1.5，為此，必須加重船載，降低船身.當(dāng)船身至少應(yīng)降低

　　　　 時(shí)，船才能通過橋洞.(結(jié)果精確到0.01)

解：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓拱所在圓的方程為.

∵圓經(jīng)過點(diǎn)(10，0)，(0，4)，∴，解得.

∴圓的方程是.　 令，得.

故當(dāng)水位暴漲1.5后，船身至少應(yīng)降低，船才能通過橋洞.

變式2：據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)：在城正東方300的海面處有一臺(tái)風(fēng)中心，正以每小時(shí)40的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約

　　　 ，臺(tái)風(fēng)將影響城，持續(xù)時(shí)間約為　　　 .(結(jié)果精確到0.1)

解：以為原點(diǎn)，正東方向所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡是，受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域邊界的曲線方程是.

依題意有，解得.

∴.

∴從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0，臺(tái)風(fēng)將影響城，持續(xù)時(shí)間約為6.6.

變式3：有一種商品，、兩地均有出售，且兩地價(jià)格相同.某地區(qū)的居民從兩地購買此種商品后往回販運(yùn)時(shí)，單位距離的運(yùn)費(fèi)地是地的3倍.已知、兩地的距離是10，顧客購買這種商品選擇地或地的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用比較便宜.求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出在曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地點(diǎn).

解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)是售貨區(qū)域分界線上的任意一點(diǎn)，單位距離的運(yùn)費(fèi)為元，則，∴，化簡(jiǎn)得.∴、兩地售貨區(qū)域的分界線是以為圓心，為半徑的圓.因此在曲線內(nèi)的居民選擇去地購貨，在曲線外的居民選擇去地購貨，在曲線上的居民去、兩地購貨均可.

14.(人教A版必修2第133頁例5)

已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

變式1：已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡方程是(　 )

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　 　　D.

解：設(shè).∵，∴，

∴，∴.∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，∴，∴，即，∴點(diǎn)的軌跡方程是，故選(C).

變式2：已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是　　　　　 .

解：設(shè).∵是的平分線，∴， ∴.由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.

變式3：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)，的中點(diǎn)為.∵是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.∵直線經(jīng)過定點(diǎn)，∴，∴，化簡(jiǎn)得.∴點(diǎn)的軌跡方程是.

13.(人教A版必修2第135頁B組第3題)

已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方程.

變式1：(2006年四川卷)已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于(　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由，得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡是以(2，0)為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為，故選(B).

變式2：(2004年全國卷)由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=60⁰，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是　　　　　 .

解：設(shè).∵=60⁰，∴=30⁰.∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.

變式3：(2003年北京春季卷)設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，

化簡(jiǎn)得.

當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，整理得；

當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.

所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.

12.(人教A版必修2 第145頁B組第2題)

已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.

變式1：(2006年湖南卷)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是(　 )

A.36　　　　　　　　 B.18　　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：∵圓的圓心為(2，2)，半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是，故選(C).

變式2：已知，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是　　　　 .

解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，∴的最小值為.

變式3：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).

(1)求的最大值與最小值；(2)求的最大值與最小值.

解：(1)設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)(2，1)連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.

(2)設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.

11.(北師大版必修2第101頁例8)

判斷圓與圓的位置關(guān)系，并畫出圖形.

變式1：(1995年全國卷)圓和圓的位置關(guān)系是(　 )

A.相離　　　　　　　 B.外切　　　　　　　 C.相交　　　　　　 D.內(nèi)切

解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴兩圓相交，故選(C).

變式2：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是　　　　　 .

解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實(shí)數(shù)的取值集合是.

變式3：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.

解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.

10.(北師大版必修2第117頁A組 第14題)

已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.

變式1：(2006年安徽卷)直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是(　 )

A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.

解：依題意有，解得.∵，∴，故選(A).

變式2：(2006年湖北卷)若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是　　　　　 .

解：依題意有，解得，∴的取值范圍是.

變式3：若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.

9.(人教A版必修2 第144頁 A組 第5題)

求直線被圓截得的弦的長.

變式1：(1999年全國卷)直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為(　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為，故選(C).

變式2：(2006年天津卷)設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長為，則　　　　 .

解：由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得，解得.

變式3：已知圓，直線.

(1)求證：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；

(2)求直線被圓截得的弦長最小時(shí)的方程.

解：(1)∵直線恒過定點(diǎn)，且，∴點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓恒交于兩點(diǎn).

(2)由平面幾何性質(zhì)可知，當(dāng)過圓內(nèi)的定點(diǎn)的直線垂直于時(shí)，直線被圓截得的弦長最小，此時(shí)，∴所求直線的方程為即.

8.(人教A版必修2第144頁A組 3)

求以為圓心，并且與直線相切的圓的方程.

變式1：(2006年重慶卷)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為(　 )

A.或　　　　　　　　　　 B.或

C.或　　　　　　　　　 D.或

解：設(shè)直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為(2，-1)，半徑為.依題意有，解得或，∴直線方程為或，故選(A).

變式2：(2006年湖北卷)已知直線與圓相切，則的值為　　　　 .

解：∵圓的圓心為(1，0)，半徑為1，∴，解得或.

變式3：求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程.

解：設(shè)所求圓的方程為，則，

解得或，∴圓的方程為或.

7.(北師大版必修2 第118頁B組第2題)

光線自點(diǎn)射到點(diǎn)后被軸反射，求反射光線所在直線的方程.

變式1：一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射，與圓相切，則反射光線所在直線的方程是　　　　 .

解：依題意得，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為，即.由反射光線與圓相切得，解得或，∴反射光線所在直線的方程是或，即或.

變式2：(2003年全國卷)已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、和，一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與夾角為的方向射到上的點(diǎn)后，依次反射到、和上的點(diǎn)、和(入射角等于反射角).設(shè)的坐標(biāo)為.若，則的取值范圍是(　 )

A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D.

解：用特例法，取，則、、、分別為、、、的中點(diǎn)，此時(shí).依題意，包含的選項(xiàng)(A)(B)(D)應(yīng)排除，故選(C).

變式3：已知點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)P，使最小.

解：由題意知，點(diǎn)A、B在直線的同一側(cè).由平面幾何性質(zhì)可知，先作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連結(jié)，則直線與的交點(diǎn)P為所求.事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)是上異于P的點(diǎn)，則.

設(shè)，則，解得，∴，∴直線的方程為.由，解得，∴.

6.(人教A版必修2 第110頁A組第3題)

已知，，求線段的垂直平分線的方程.

變式1：已知關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程是(　 )

A.　 B.　　 C.　 D.

解：依題意得，直線是線段的垂直平分線.∵，∴，∵的中點(diǎn)為(1，1)，∴直線的方程是即，故選(B).

變式2：已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱 ，則直線的方程是　　　　　 .

解：依題意得，兩圓的圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，故直線是線段的垂直平分線，由變式1可得直線的方程為.

變式3：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

解：設(shè).由，且的中點(diǎn)在直線上，得，解得，∴.