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1、平拋運動：將物體沿水平方向拋出，其運動為平拋運動．

(1)運動特點：a、只受重力；b、初速度與重力垂直．盡管其速度大小和方向時刻在改變，但其運動的加速度卻恒為重力加速度g，因而平拋運動是一個勻變速曲線運動

(2)平拋運動的處理方法：平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。水平方向和豎直方向的兩個分運動既具有獨立性，又具有等時性．

(3)平拋運動的規(guī)律：以物體的出發(fā)點為原點，沿水平和豎直方向建成立坐標。

a_x=0……①　　　　　　　　 a_y=0……④

水平方向　 v_x=v₀ ……② 豎直方向　 v_y=gt……⑤

x=v₀t……③　　　　　　　 y=½gt²……⑥

①平拋物體在時間t內(nèi)的位移S可由③⑤兩式推得s==，

②位移的方向與水平方向的夾角α由下式?jīng)Q定tgα=y/x=½gt²/v₀t=gt/2v₀

③平拋物體經(jīng)時間t時的瞬時速度v_t可由②⑤兩式推得v_t=，

④速度v_t的方向與水平方向的夾角β可由下式?jīng)Q定tgβ=v_y/v_x=gt/v₀

⑤平拋物體的軌跡方程可由③⑥兩式通過消去時間t而推得：y=·x²， 可見，平拋物體運動的軌跡是一條拋物線．

⑥運動時間由高度決定，與v₀無關(guān)，所以t=，水平距離x＝v₀t＝v₀

⑦Δt時間內(nèi)速度改變量相等，即△v＝gΔt，ΔV方向是豎直向下的．說明平拋運動是勻變速曲線運動．

3、曲線運動條件的應用

做曲線運動的物體，其軌跡向合外力所指的一方彎曲，若已知物體的運動軌跡，可判斷出合外力的大致方向．若合外力為變力，則為變加速運動；若合外力為恒力，則為勻變速運動；

[例10]質(zhì)量為m的物體受到一組共點恒力作用而處于平衡狀態(tài)，當撤去某個恒力F₁時，物體可能做(　　 )

A．勻加速直線運動；　　 B．勻減速直線運動；

C．勻變速曲線運動；　　 D．變加速曲線運動。

分析與解：當撤去F₁時，由平衡條件可知：物體此時所受合外力大小等于F₁，方向與F₁方向相反。

若物體原來靜止，物體一定做與F₁相反方向的勻加速直線運動。

若物體原來做勻速運動，若F₁與初速度方向在同一條直線上，則物體可能做勻加速直線運動或勻減速直線運動，故A、B正確。

若F₁與初速度不在同一直線上，則物體做曲線運動，且其加速度為恒定值，故物體做勻變速曲線運動，故C正確，D錯誤。正確答案為：A、B、C。

[例11]圖中實線是一簇未標明方向的由點電荷產(chǎn)生的電場線，虛線是某一帶電粒子通過該電場區(qū)域時的運動軌跡,a,b是軌跡上的兩點．若帶電粒子在運動中只受電場力作用，根據(jù)此圖可作出正確判斷的是()

A.帶電粒子所帶電荷的符號　　　 B.帶電粒子在a,b兩點的受力方向

C.帶電粒子在a,b兩點的速度何處較大　 D.帶電粒子在a,b兩點的電勢能何處較大

解析：由圖中的曲線可以看出，不管帶電粒子由a→b還是由b→a，力的方向必然指向左下方，從而得到正確答案：BCD

思考：若實線為等勢線，該題又該如何分析

[例12] 如圖所示，在豎直平面的xoy坐標系內(nèi)，oy表示豎直向上方向。該平面內(nèi)存在沿x軸正向的勻強電場。一個帶電小球從坐標原點沿oy方向豎直向上拋出，初動能為4J，不計空氣阻力。它達到的最高點位置如圖中M點所示。求：

⑴小球在M點時的動能E₁。⑵在圖上標出小球落回x軸時的位置N。⑶小球到達N點時的動能E₂。

解：⑴在豎直方向小球只受重力，從O→M速度由v₀減小到0；在水平方向小球只受電場力，速度由0增大到v₁，由圖知這兩個分運動平均速度大小之比為2∶3，因此v₀∶v₁=2∶3，所以小球在M點時的動能E₁=9J。

⑵由豎直分運動知，O→M和M→N經(jīng)歷的時間相同，因此水平位移大小之比為1∶3，故N點的橫坐標為12。

⑶小球到達N點時的豎直分速度為v₀，水平分速度為2v₁，由此可得此時動能E₂=40J。

　　　　　 　　平拋物體的運動

知識簡析 一、平拋物體的運動

2、小船渡河問題分析

[例9]一條寬度為L的河，水流速度為v_s，已知船在靜水中的航速為v_c，那么，(1)怎樣渡河時間最短？(2)若v_s＜v_c怎樣渡河位移最�。�(3)若v_s＞v_c，怎樣渡河船漂下的距離最短？

分析與解：(1)如圖2甲所示，設船上頭斜向上游與河岸成任意角θ，這時船速在垂直于河岸方向的速度分量V₁=V_csinθ,渡河所需時間為：.

可以看出：L、V_c一定時，t隨sinθ增大而減��；當θ=90⁰時，sinθ=1,所以，當船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，.

(2)如圖2乙所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度V的方向與河岸垂直。這是船頭應指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系有：V_ccosθ─V_s=0.

所以θ=arccosV_s/V_c,因為0≤cosθ≤1,所以只有在V_c>V_s時，船才有可能垂直于河岸橫渡。

(3)如果水流速度大于船上在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游。怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖2丙所示，設船頭V_c與河岸成θ角，合速度V與河岸成α角�？梢钥闯觯害两窃酱�，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢？以V_s的矢尖為圓心，以V_c為半徑畫圓，當V與圓相切時，α角最大，根據(jù)cosθ=V_c/V_s,船頭與河岸的夾角應為：θ=arccosV_c/V_s.

船漂的最短距離為：.　 此時渡河的最短位移為：.

思考：①小船渡河過程中參與了哪兩種運動？這兩種運動有何關(guān)系？

②過河的最短時間和最短位移分別決定于什么？

3.重點掌握的兩種情況：一是加速度大小、方向都不變的曲線運動，叫勻變曲線運動，如平拋運動；另一是加速度大小不變、方向時刻改變的曲線運動，如勻速圓周運動．

規(guī)律方法　 1、運動的合成與分解的應用

合運動與分運動的關(guān)系：滿足等時性與獨立性．即各個分運動是獨立進行的，不受其他運動的影響，合運動和各個分運動經(jīng)歷的時間相等，討論某一運動過程的時間，往往可直接分析某一分運動得出．

[例2]小船從甲地順水到乙地用時t₁，返回時逆水行舟用時t₂，若水不流動完成往返用時t₃，設船速率與水流速率均不變，則(　　　 )

　 A．t₃＞t₁+t₂ ；　 B．t₃＝t₁+t₂；　 C．t₃＜t₁+t₂ ；　 D．條件不足，無法判斷

解析：設船的速度為V，水的速度為v₀，則

<故選C

[例3]如圖所示，A、B兩直桿交角為θ，交點為M，若兩桿各以垂直于自身的速度V₁、V₂沿著紙面運動，則交點M的速度為多大？

　 解析：如圖所示，若B桿不動，A桿以V₁速度運動，交點將沿B桿移動，速度為V，V=V₁／sinθ．若A桿不動，B桿移動時，交點M將沿A桿移動，速度為V，V=V₂／sinθ．兩桿一起移動時，交點M的速度v_M可看成兩個分速度V和V的合速度，故v_M的大小為v_M==

[例4]玻璃板生產(chǎn)線上，寬9m的成型玻璃板以4m／s的速度連續(xù)不斷地向前行進，在切割工序處，金剛鉆的走刀速度為8m／s，為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形，金剛鉆割刀的軌道應如何控制？切割一次的時間多長？

　解析：要切成矩形則割刀相對玻璃板的速度垂直v，如圖設v_刀與v_玻方向夾角為θ，cosθ=v_玻/v_刀=4/8，則θ=30⁰。v===4m/s。時間t=s/v=9/4=2·45s

[例5]如圖所示的裝置中，物體A、B的質(zhì)量m_A＞m_B。最初，滑輪兩側(cè)的輕繩都處于豎直方向，若用水平力F向右拉A，起動后，使B勻速上升。設水平地面對A的摩擦力為f,繩對A的拉力為T，則力f,T及A所受合力F_合的大小()

A.F_合≠O,f減小，T增大；B.F_合≠O,f增大，T不變；

C. F_合＝O,f增大，T減小；D. F_合＝O,f減小，T增大；

分析:顯然此題不能整體分析。B物體勻速上升為平衡狀態(tài)，所受的繩拉力T恒等于自身的重力，保持不變。A物體水平運動，其速度可分解為沿繩長方向的速度(大小時刻等于B物體的速度)和垂直于繩長的速度(與B物體的速度無關(guān))，寫出A物體速度與B物體速度的關(guān)系式，可以判斷是否勻速，從而判斷合力是否為零。

解：隔離B物體：T=m_Bg，保持不變。隔離A物體：受力分析如圖所示，設繩與水平線夾角為θ，則：

①隨A物體右移，θ變小，由豎直平衡可以判斷支持力變大。由f=μN，得f變大。

②將A物體水平運動分解如圖所示，有v_B＝v_Acosθ，故隨θ變小，cosθ變大，V_B不變，V_A變小，A物體速度時時改變，必有F_合≠O。

所得結(jié)論為：F_合≠O，f變大，T不變。B項正確。

[例6]兩個寬度相同但長度不同的臺球框固定在水平面上，從兩個框的長邊同時以相同的速度分別發(fā)出小球A和B，如圖所示，設球與框邊碰撞時無機械能損失，不計摩擦，則兩球回到最初出發(fā)的框邊的先后是(　　 )

A. A球先回到出發(fā)框邊　　　 B球先回到出發(fā)框邊

C.兩球同時回到出發(fā)框邊　　　 D.因兩框長度不明，故無法確定哪一個球先回到出發(fā)框邊

解析：小球與框邊碰撞無機械能損失，小球每次碰撞前后的運動速率不變，且遵守反射定律。以A球進行分析，如圖。

小球沿AC方向運動至C處與長邊碰后，沿CD方向運動到D處與短邊相碰，最后沿DE回到出發(fā)邊。經(jīng)對稱得到的直線A^/CDE^/的長度與折線ACDE的總長度相等。

框的長邊不同，只要出發(fā)點的速度與方向相同，不論D點在何處，球所通過的總路程總是相同的，不計碰撞時間，故兩球應同時到達最初出發(fā)的框邊。答案：C

也可用分運動的觀點求解：小球垂直于框邊的分速度相同，反彈后其大小也不變，回到出發(fā)邊運動的路程為臺球桌寬度的兩倍，故應同時回到出發(fā)邊。

[例7]如圖所示，A、B兩物體系在跨過光滑定滑輪的一根輕繩的兩端，當A物體以速度v向左運動時，系A(chǔ),B的繩分別與水平方向成a、β角，此時B物體的速度大小為　　　　　　 ，方向水平向右

解析：根據(jù)A,B兩物體的運動情況，將兩物體此時的速度v和v_B分別分解為兩個分速度v₁(沿繩的分量)和v₂(垂直繩的分量)以及v_B1(沿繩的分量)和v_B2(垂直繩的分量)，如圖，由于兩物體沿繩的速度分量相等，v₁＝v_B1，vcosα＝v_Bcosβ.

則B物體的速度方向水平向右，其大小為

[例8]一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度V₀勻速運動。在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動，如圖7所示。當桿與半圓柱體接觸點P與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ，求豎直桿運動的速度。

解析：設豎直桿運動的速度為V₁，方向豎直向上，由于彈力方向沿OP方向，所以V₀、V₁在OP方向的投影相等，即有　 ，解得V₁=V₀.tgθ.

2．物體做一般曲線運動的條件：運動物體所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向不在同一直線上(即合外力或加速度與速度的方向成一個不等于零或π的夾角)．

說明：當物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為銳角時，物體做曲線運動速率將增大，當物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體做曲線運動的速率將減小。

1．曲線運動是指物體運動的軌跡為曲線；曲線運動的速度方向是該點的切線方向；曲線運動速度方向不斷變化，故曲線運動一定是變速運動．

(1)等時性：合運動所需時間和對應的每個分運動所需時間相等．

(2)獨立性：一個物體可以同時參與幾個不同的分運動，各個分運動獨立進行，互不影響．

(3)等效性:合運動和分運動是等效替代關(guān)系，不能并存；

(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四邊形定則。

[例1]如圖所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向運動的小車A，小車下裝有吊著物體B的吊鉤．在小車A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向勻速運動的同時，吊鉤將物體B向上吊起，A、B之間的距離以 (SI)(SI表示國際單位制，式中H為吊臂離地面的高度)規(guī)律變化，則物體做

(A)速度大小不變的曲線運動．　 (B)速度大小增加的曲線運動．

(C)加速度大小方向均不變的曲線運動．

(D)加速度大小方向均變化的曲線運動． 答案：B C

4．速度分解的一個基本原則就是按實際效果來進行分解，常用的思想方法有兩種：一種思想方法是先虛擬合運動的一個位移，看看這個位移產(chǎn)生了什么效果，從中找到運動分解的辦法；另一種思想方法是先確定合運動的速度方向(物體的實際運動方向就是合速度的方向)，然后分析由這個合速度所產(chǎn)生的實際效果，以確定兩個分速度的方向．

3．將速度正交分解為 v_x＝vcosα和v_y=vsinα是常用的處理方法．

2．運動分解也遵循矢量運算的平行四邊形定則．