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2.三棱錐的等(體)積變換是解決點(diǎn)到面的距離的常見方法之一； “割”“補(bǔ)”是解決立體幾何，尤其是體積問題的常用技巧.

正棱錐的四個(gè)“特征”直角三角形，是將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”的橋梁.

1.棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)是研究解決問題的依據(jù)，要能正確利用這些知識進(jìn)行圖中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的分析和計(jì)算；

[例1]如圖，設(shè)三棱錐S-ABC的三個(gè)側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC.

(1)求證：S-ABC為正三棱錐；

(2)已知SA=a，求S-ABC的全面積.

證明(1)：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，兩個(gè)條件缺一不可.作三棱錐S-ABC的高SO，O為垂足，連結(jié)AO并延長交BC于D.

因?yàn)?i>SA⊥BC，所以AD⊥BC.又側(cè)棱與底面所成的角都相等，從而O為△ABC的外心，OD為BC的垂直平分線，所以AB=AC.又∠BAC=60°，故△ABC為正三角形，且O為其中心.所以S－ABC為正三棱錐.

解(2)：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60⁰，

所以SO=a，AO=a.因O為重心，

所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot60⁰=a，

OD=AD=a.

在Rt△SOD中，SD²=SO²+OD²=(a)²+(a)²=，則SD=a.于是，(S_S－ABC)_全=·(a)²sin60°+3··a·a=a².

◆思悟探討

(1)求正棱錐的側(cè)面積或全面積還可以利用公式

S_正棱錐底=cosα·S_{正棱錐側(cè)}(α為側(cè)面與底面所成的二面角).

(2)注意到高SO=a，底面邊長BC=a是相等的，因此這類正三棱錐還有高與底面邊長相等的性質(zhì)，反之亦真.

(3)正三棱錐中，若側(cè)棱與底面邊長相等，則可稱為正四面體，因此正四面體是特殊的正三棱錐，但正三棱錐不一定是正四面體.

[例2] 三棱錐A-BCD的兩條棱AB=CD=6，其余各棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球半徑.

解法一：易知內(nèi)切球球心O到各面的距離相等.

設(shè)E、F為CD、AB的中點(diǎn)，則O在EF上且O為EF的中點(diǎn).

在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=.

解法二：設(shè)球心O到各面的距離為R.

則4×S×R=V_A-BCD，

∵S=×6×4=12，V_A-BCD=2V_C-ABE=6.

∴4××12R=6.∴R=.

評述：正多面體與球的切接問題常借助體積求解.

[例3]．(2006邯鄲一模)已知，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面成60⁰的角，AB⊥AC，BC₁⊥A₁C₁，AB=4，AC=3.

(1).求證：截面ABC₁⊥底面ABC；

(2).求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的最小值；

(3).求三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積最小時(shí)，截面A₁BC₁與底面ABC所成二面角的大小.

證(1)：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中, AC ∥A₁C₁,

∵BC₁⊥A₁C₁,　 ∴BC₁⊥AC,又　 AB⊥AC,　

　∴AC⊥面ABC₁,　 ∴面ABC₁⊥面ABC.　

解(2)：作C₁H⊥面ABC于H, 則H在AB上，連CH，則∠HCC₁=60⁰ 當(dāng)H與A重合時(shí)CH最短，棱柱的高C₁H=CHtan60⁰=CH最短

三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 的體積V最小.此時(shí)，

∠ACC₁=60⁰, C₁H=AC₁=3

V=

解(3)設(shè)面ABC交面A₁BC₁于直線 m,則 m為二面角的棱.

∵AC∥A₁C₁ ,　 ∴AC∥面A₁BC₁,　 AC∥m ,

∴ AB⊥m,　 又AC₁⊥面ABC,

由三垂線定理知C₁B⊥m,

∴∠ABC₁為所求二面角的平面角.在RtΔABC₁中， tan∠ABC₁=

[例4]如圖，三個(gè)12×12 cm的正方形，都被連結(jié)相鄰兩邊中點(diǎn)的直線分成A、B兩片(如圖(1))，把6片粘在一個(gè)正六邊形的外面(如圖(2))，然后折成多面體(如圖(3))，求此多面體的體積.

解法一： 補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖甲，

V=V_正方體­=×12³=864 cm³.

甲　　　　　　　　　 乙

解法二：補(bǔ)成一個(gè)三棱錐，如圖乙，

V=V_大三棱錐－3V_小三棱錐=864 cm³.

解法三：如圖(3)7設(shè)C是所在棱的中點(diǎn)，截面CDE把幾何體截成兩部分，沿DE把上部分翻轉(zhuǎn)過來可拼成正方體的下一半.

◆思考討論

補(bǔ)形的方法可將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化成規(guī)則的幾何體，這是求多面體體積的常用方法.

5. 補(bǔ)上一個(gè)相同的棱柱成為平行六面體；或割成三個(gè)相同的三棱錐.

4．先確定點(diǎn)P、A、B、C所在的球面及其直徑.

1．提示：BC₁在上底面的射影垂直于AC，必為AB.

法二：AC⊥平面ABC₁，從而平面ABC₁⊥平面ABC……

5. dS;　 6 arccos;　 7.

7.地球的半徑為R,北緯45⁰緯線上有2點(diǎn)A、B間的球面距離為大圓周長的，則A、B兩地間緯線長為 　　　

◆答案提示：1-3. AAC； 4.

6.在三棱錐S-ABC中，∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°，則側(cè)棱SA與側(cè)面SBC所成的角的大小是_____________

.

5.斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面的面積為S，這個(gè)側(cè)面與它所對的棱的距離為d，那么這個(gè)三棱柱的體積為_________.