學(xué)生基礎(chǔ)性作業(yè)九年級數(shù)學(xué)人教版
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12. 證明勾股定理時常用到如圖所示的圖形，$a,b,c$是$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BED$的邊長，顯然$AE=\sqrt{2}c$，我們把關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$稱為“弦系一元二次方程”. 請解決下列問題.
（1）判斷方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$是否是“弦系一元二次方程”，并說明理由.
（2）直接寫出一個“弦系一元二次方程”.
（3）求證：關(guān)于$x$的“弦系一元二次方程”必有實數(shù)根.
答案：（1）不是
解析：對比“弦系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$，方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$中，$\sqrt{2}c=\sqrt{10}$，$c=\sqrt{5}$，此時$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，而$Rt\triangle$中$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=2 + 3=5=(\sqrt{5})^{2}$，但題目中$a,b,c$是兩個$Rt\triangle$的邊長，條件未明確$a,b,c$關(guān)系，原方程不符合定義，故不是。
（2）$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$（答案不唯一，滿足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$即可）
解析：取$a=3$，$b=4$，則$c=5$，方程為$3x^{2}+\sqrt{2}×5x + 4=3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$。
（3）證明：$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$，因為$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geqslant0$，故方程必有實數(shù)根。
