學(xué)生基礎(chǔ)性作業(yè)九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版
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12. 定義：關(guān)于$x$的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$（其中$a$，$b$，$c$是常數(shù)，且$ac\neq0$）是關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（其中$a$，$b$，$c$是常數(shù)，且$ac\neq0$）的“友好方程”. 如：$-2x^{2}-x+1=0$是$x^{2}-x-2=0$的“友好方程”.
（1）概念感知
$2x^{2}-3x-2=0$的“友好方程”是________.
答案：$-2x^{2}-3x+2=0$
解析：原方程$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，友好方程為$cx^{2}+bx+a=0$，即$-2x^{2}-3x+2=0$.
（2）問題探究
①已知一元二次方程$x^{2}+2x-8=0$的兩個(gè)根為$x_{1}=2$，$x_{2}=-4$，那么$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$是否為該方程的“友好方程”的解？請說明理由.
②根據(jù)上述結(jié)論，猜想$ax^{2}+bx+c=0$的兩個(gè)根$x_{1}$，$x_{2}$與其“友好方程”$cx^{2}+bx+a=0$的兩個(gè)根$x_{3}$，$x_{4}$之間存在哪種特殊關(guān)系，不需證明.
答案：①是；②互為倒數(shù)
解析：①原方程$x^{2}+2x-8=0$的友好方程為$-8x^{2}+2x+1=0$. 當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，左邊$=-8×(\frac{1}{2})^{2}+2×\frac{1}{2}+1=0$；當(dāng)$x=-\frac{1}{4}$時(shí)，左邊$=-8×(-\frac{1}{4})^{2}+2×(-\frac{1}{4})+1=0$，故是解.
②$x_{3}=\frac{1}{x_{1}}$，$x_{4}=\frac{1}{x_{2}}$.
（3）拓展提升
已知關(guān)于$x$的方程$2025x^{2}+bx-1=0$的兩個(gè)根是$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{1}{2025}$. 請利用（2）中的結(jié)論，直接寫出關(guān)于$x$的方程$(x-1)^{2}-bx+b=2025$的兩個(gè)根.
答案：0和2026
解析：原方程$2025x^{2}+bx-1=0$的友好方程為$-x^{2}+bx+2025=0$，其根為$-1$和2025（由（2）②）. 方程$(x-1)^{2}-bx+b=2025$可化為$(x-1)^{2}-b(x-1)-2025=0$，設(shè)$y=x-1$，則$y^{2}-by-2025=0$，根為$y=-1$或2025，故$x=0$或2026.
