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6、向量的運(yùn)算：

(1)幾何運(yùn)算：

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；

②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如(1)化簡：①___；②____；③_____(答：①；②；③)；(2)若正方形的邊長為1，，則＝_____(答：)；(3)若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為____(答：直角三角形)；(4)若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為___(答：2)；(5)若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為____(答：)；

(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：

①向量的加減法運(yùn)算：，。如(1)已知點(diǎn)，，若，則當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上(答：)；(2)已知，，則　　　 (答：或)；(3)已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是　　　　 (答：(9,1))

②實(shí)數(shù)與向量的積：。

③若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是__________(答：)；

④平面向量數(shù)量積：。如已知向量＝(sinx，cosx), ＝(sinx，sinx), ＝(－1，0)。(1)若x＝，求向量、的夾角；(2)若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值(答：或)；

⑤向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____(答：)；

⑥兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2，－2)，求P到O的距離｜PO｜；(2)求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。(答：(1)2；(2))；

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5、平面向量的數(shù)量積：

(1)兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，

稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直。

(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如(1)△ABC中，，，，則_________(答：－9)；(2)已知，與的夾角為，則等于____(答：1)；(3)已知，則等于____(答：)；(4)已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為____(答：)

(3)在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______(答：)

(4)的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。

(5)向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：

①；

②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；

③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④。如(1)已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______(答：或且)；(2)已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________(答：)；(3)已知與之間有關(guān)系式，①用表示；②求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小(答：①；②最小值為，)

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4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，注意：≠0。

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3.平面向量的基本定理：如果e₁和e₂是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e₁+e₂。如(1)若

，則______(答：)；(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. 　B. 　C. 　　D. (答：B)；(3)已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____(答：)；(4)已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是___(答：0)

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2、向量的表示方法：(1)幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；(2)符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，，等；(3)坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。

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1、向量有關(guān)概念：

(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)。如已知A(1,2)，B(4,2)，則把向量按向量＝(－1,3)平移后得到的向量是_____(答：(3,0))

(2)零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；

(3)單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；

(4)相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

(5)平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！(因?yàn)橛?sub>)；④三點(diǎn)共線共線；

(6)相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

如下列命題：(1)若，則。(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。(3)若，則是平行四邊形。(4)若是平行四邊形，則。(5)若，則。(6)若，則。其中正確的是_______(答：(4)(5))

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17. 抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件(如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等)的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

(1)借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù) ：

①正比例函數(shù)型： ---------------；

②冪函數(shù)型： --------------，；

③指數(shù)函數(shù)型： ------------，；

④對(duì)數(shù)函數(shù)型： -----，；

⑤三角函數(shù)型： ----- 。如已知是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則____(答：0)

(2)利用函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)進(jìn)行演繹探究：如(1)設(shè)函數(shù)表示除以3的余數(shù)，則對(duì)任意的，都有　A、 B、 C、 D、(答：A)；(2)設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足，如果，，求(答：1)；(3)如設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，證明：直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；(4)已知定義域?yàn)?sub>的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。如果，且，則的值的符號(hào)是____(答：負(fù)數(shù))

(3)利用一些方法(如賦值法(令＝0或1，求出或、令或等)、遞推法、反證法等)進(jìn)行邏輯探究。如(1)若，滿足

，則的奇偶性是______(答：奇函數(shù))；(2)若，滿足

，則的奇偶性是______(答：偶函數(shù))；(3)已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_____________(答：)；(4)設(shè)的定義域?yàn)?sub>，對(duì)任意，都有，且時(shí)，，又，①求證為減函數(shù)；②解不等式.(答：)．

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16. 函數(shù)的應(yīng)用。(1)求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題――認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建模――通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；③解模――求解所得的數(shù)學(xué)問題；④回歸――將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去。(2)常見的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立型。