4.圓錐曲線的幾何性質：
(1)橢圓(以
(
)為例)：①范圍：
；②焦點：兩個焦點
；③對稱性：兩條對稱軸
，一個對稱中心(0,0)，四個頂點
，其中長軸長為2
，短軸長為2
；④準線：兩條準線
； ⑤離心率：
，橢圓
，
越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如(1)若橢圓
的離心率
，則
的值是__(答：3或
)；(2)以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為__(答：
)
(2)雙曲線(以
(
)為例)：①范圍：
或
；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心(0,0)，兩個頂點
，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為
；④準線：兩條準線； ⑤離心率：，雙曲線
，等軸雙曲線
，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：
。如(1)雙曲線的漸近線方程是
，則該雙曲線的離心率等于______(答：
或
)；(2)雙曲線
的離心率為
，則
= (答：4或
)；(3)設雙曲線
(a>0,b>0)中，離心率e∈[
,2],則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是________(答：
)；
(3)拋物線(以
為例)：①范圍：
；②焦點：一個焦點
，其中
的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸
，沒有對稱中心，只有一個頂點(0,0)；④準線：一條準線
； ⑤離心率：，拋物線
。如設
，則拋物線
的焦點坐標為________(答：
)；
3.圓錐曲線焦點位置的判斷(首先化成標準方程，然后再判斷)：
(1)橢圓：由
,
分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程
表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是__(答：
)
(2)雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；
(3)拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。
特別提醒：(1)在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F
，F(xiàn)
的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)
，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；(2)在橢圓中，最大，
，在雙曲線中，
最大，
。
2.圓錐曲線的標準方程(標準方程是指中心(頂點)在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程)：
(1)橢圓：焦點在軸上時()
(參數(shù)方程，其中
為參數(shù))，焦點在軸上時
＝1()。方程
表示橢圓的充要條件是什么？(ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B)。如(1)已知方程
表示橢圓，則
的取值范圍為____(答：
)；(2)若
，且
，則
的最大值是____，
的最小值是___(答：
)
(2)雙曲線：焦點在軸上：
=1，焦點在軸上：
＝1()。方程表示雙曲線的充要條件是什么？(ABC≠0，且A，B異號)。如(1)雙曲線的離心率等于
，且與橢圓
有公共焦點，則該雙曲線的方程_______(答：
)；(2)設中心在坐標原點
，焦點
、
在坐標軸上，離心率
的雙曲線C過點
，則C的方程為_______(答：
)
(3)拋物線：開口向右時，開口向左時
，開口向上時
，開口向下時
。
1.圓錐曲線的兩個定義：
(1)第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)
，且此常數(shù)一定要大于
，當常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如(1)已知定點
，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A．
B．
C．
D．
(答：C)；(2)方程
表示的曲線是_____(答：雙曲線的左支)
(2)第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化。如已知點
及拋物線
上一動點P(x,y),則y+|PQ|的最小值是_____(答：2)
12、向量中一些常用的結論：
(1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；
(2)
，特別地，當
同向或有
；當反向或有
；當不共線
(這些和實數(shù)比較類似).
(3)在
中，①若
，則其重心的坐標為
。如若⊿ABC的三邊的中點分別為(2，1)、(-3，4)、 (-1，-1)，則⊿ABC的重心的坐標為_______(答：
)；
②
為的重心，特別地
為的重心；
③
為的垂心；
④向量
所在直線過的內心(是
的角平分線所在直線)；
⑤
的內心；
(3)若P分有向線段
所成的比為
，點
為平面內的任一點，則
，特別地
為
的中點
；
(4)向量
中三終點
共線存在實數(shù)
使得
且
.如平面直角坐標系中，
為坐標原點，已知兩點
,
,若點
滿足
,其中
且
,則點的軌跡是_______(答：直線AB)
11.平移公式：如果點
按向量
平移至
，則
；曲線
按向量平移得曲線
.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平�！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊！如(1)按向量
把
平移到
，則按向量把點
平移到點______(答：(－8，3))；(2)函數(shù)
的圖象按向量
平移后，所得函數(shù)的解析式是
，則＝________(答：
)
10.線段的定比分點：
(1)定比分點的概念：設點P是直線P
P
上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù) ，使
，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；
(2)的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段 PP上時>0；當P點在線段
PP的延長線上時<－1；當P點在線段PP的延長線上時
；若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段
所成的比為
。如若點
分
所成的比為
，則
分
所成的比為_______(答：
)
(3)線段的定比分點公式：設
、
，分有向線段所成的比為，則
，特別地，當＝1時，就得到線段PP的中點公式
。在使用定比分點的坐標公式時，應明確
，
、
的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據這些點確定對應的定比。如(1)若M(-3，-2)，N(6，-1)，且
，則點P的坐標為_______(答：
)；(2)已知
，直線
與線段
交于
，且
，則
等于_______(答：2或－4)
9、向量垂直的充要條件：
.特別地
。如(1)已知
，若
，則
(答：
)；(2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，
，則點B的坐標是________ (答：(1,3)或(3，－1))；(3)已知
向量
，且
，則
的坐標是________ (答：
)
8、向量平行(共線)的充要條件：
＝0。如(1)若向量
，當
＝_____時
與
共線且方向相同(答：2)；(2)已知
，
，
，且
，則x＝______(答：4)；(3)設
，則k＝_____時，A,B,C共線(答：－2或11)
7、向量的運算律：(1)交換律：
，
，
；(2)結合律：
，
；(3)分配律：
，
。如下列命題中：① 
；② 
；③ 
；④ 若
，則
或
；⑤若
則
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
。其中正確的是______(答：①⑥⑨)
提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結合律，即
，為什么？
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