6、多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性：
(1)多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：
①若
,則
為增函數(shù)；若
,則為減函數(shù)；若
恒成立,則為常數(shù)函數(shù)；若
的符號(hào)不確定,則不是單調(diào)函數(shù)。
②若函數(shù)
在區(qū)間(
)上單調(diào)遞增，則
，反之等號(hào)不成立；若函數(shù)在區(qū)間()上單調(diào)遞減，則
，反之等號(hào)不成立。如(1)函數(shù)
，其中
為實(shí)數(shù)，當(dāng)
時(shí)，的單調(diào)性是______(答：增函數(shù))；(2)設(shè)
函數(shù)
在
上單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)
的取值范圍______(答：
)；(3)已知函數(shù)
為常數(shù))在區(qū)間
上單調(diào)遞增，且方程
的根都在區(qū)間
內(nèi)，則
的取值范圍是____________(答：
)；(4)已知
，
，設(shè)
，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)
，使
在
上是減函數(shù)，并且在
上是增函數(shù)？(答：
)
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)求；(2)求方程的根，設(shè)根為
；(3)將給定區(qū)間分成n+1個(gè)子區(qū)間，再在每一個(gè)子區(qū)間內(nèi)判斷的符號(hào)，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性。如設(shè)函數(shù)
在
處有極值，且
，求的單調(diào)區(qū)間。(答：遞增區(qū)間(－1,1)，遞減區(qū)間
)
5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：(1)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即
(C為常數(shù))； (2)
，與此有關(guān)的如下：
；(3)若
有導(dǎo)數(shù)，則①
；②
。如(1)已知函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)為
，則
_____(答：
)；(2)函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)為__________(答：
)；(3)若對(duì)任意
，
，則是______(答：
)
4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)
處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線(xiàn)在點(diǎn)
處的切線(xiàn)的斜率，即曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率是
，相應(yīng)地切線(xiàn)的方程是
。特別提醒：(1)在求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)，要注意區(qū)分所求切線(xiàn)是曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)，還是過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)：曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)只有一條，而過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)不一定只有一條，即使此點(diǎn)在曲線(xiàn)上也不一定只有一條；(2)在求過(guò)某一點(diǎn)的切線(xiàn)方程時(shí)，要首先判斷此點(diǎn)是在曲線(xiàn)上，還是不在曲線(xiàn)上，只有當(dāng)此點(diǎn)在曲線(xiàn)上時(shí)，此點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率才是
。如(1)P在曲線(xiàn)
上移動(dòng)，在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角為α，則α的取值范圍是______(答：
)；(2)直線(xiàn)
是曲線(xiàn)
的一條切線(xiàn),則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______(答：－3或1)；(3)已知函數(shù)
(
為常數(shù))圖象上
處的切線(xiàn)與
的夾角為
，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)____(答：0或
)；(4)曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程是______________(答：
)；(5)已知函數(shù)
，又導(dǎo)函數(shù)
的圖象與
軸交于
。①求的值；②求過(guò)點(diǎn)
的曲線(xiàn)
的切線(xiàn)方程(答：①1；②
或
)。
3、求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟：(1)求函數(shù)的改變量
；(2)求平均變化率
；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)
。
2、導(dǎo)函數(shù)的概念：如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù) 
，這樣在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)， 記作 
，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)。
1、導(dǎo)數(shù)的背景：(1)切線(xiàn)的斜率；(2)瞬時(shí)速度；(3)邊際成本。 如一物體的運(yùn)動(dòng)方程是
，其中
的單位是米，
的單位是秒，那么物體在
時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)____(答：5米/秒)
(二)減少填空題失分的檢驗(yàn)方法
1、回顧檢驗(yàn)
例18、滿(mǎn)足條件
的角
的集合為 。
錯(cuò)解：
檢驗(yàn)：根據(jù)題意，答案中的
不滿(mǎn)足條件
，應(yīng)改為
；其次，角的取值要用集合表示。故正確答案為
2、賦值檢驗(yàn)。若答案是無(wú)限的、一般性結(jié)論時(shí)，可賦予一個(gè)或幾個(gè)特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免知識(shí)性錯(cuò)誤。
例19、已知數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
，則通項(xiàng)公式
= 。
錯(cuò)解：
檢驗(yàn)：取n=1時(shí)，由條件得
，但由結(jié)論得a1=5。
故正確答案為
3、逆代檢驗(yàn)。若答案是有限的、具體的數(shù)據(jù)時(shí)，可逐一代入進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免因擴(kuò)大自變量的允許值范圍而產(chǎn)生增解致錯(cuò)。
例20、方程
的解是 。
錯(cuò)解：設(shè)
，則
，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得
解得
。故
檢驗(yàn)：若
，則原方程成立；若
，則原方程不成立。
故原方程有且只有一解z=-i.
4、估算檢驗(yàn)。當(dāng)解題過(guò)程是否等價(jià)變形難以把握時(shí)，可用估算的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免忽視充要條件而產(chǎn)生邏輯性錯(cuò)誤。
例21、不等式
的解是 。
錯(cuò)解：兩邊平行得
，即
，解得
。
檢驗(yàn)：先求定義域得
，原不等式成立；若
，原不等式不成立，故正確答案為x>1�！�
5、作圖檢驗(yàn)。當(dāng)問(wèn)題具有幾何背景時(shí)，可通過(guò)作圖進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免一些脫離事實(shí)而主觀(guān)臆斷致錯(cuò)。
例22、函數(shù)
的遞增區(qū)間是 。
錯(cuò)解：
檢驗(yàn)：由
作圖可知正確答案為
6、變法檢驗(yàn)。一種方法解答之后，再用其它方法解之，看它們的結(jié)果是否一致，從而可避免方法單一造成的策略性錯(cuò)誤。
例23、若
，則
的最小值是 。
錯(cuò)解：
檢驗(yàn)：上述錯(cuò)解在于兩次使用重要不等式，等號(hào)不可能同時(shí)取到。
換一種解法為：
7、極端檢驗(yàn)。當(dāng)難以確定端點(diǎn)處是否成立時(shí)，可直接取其端點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免考慮不周全的錯(cuò)誤。
例24、已知關(guān)于x的不等式
的解集是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 。
錯(cuò)解：由
，解得
檢驗(yàn)：若a=-2，則原不等式為
，解集是空集，滿(mǎn)足題意；若
，則原不等式為
，即
，解得
，不滿(mǎn)足題意。
故正確答案為
切記：解填空題應(yīng)方法恰當(dāng)，爭(zhēng)取一步到位，答題形式標(biāo)準(zhǔn)，避免丟三落四，“一知半解”。
(一)數(shù)學(xué)填空題的解題方法
1、直接法：直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過(guò)變形、推理、計(jì)算、判斷得到結(jié)論的，稱(chēng)為直接法。它是解填空題的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空題，要善于通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺(jué)地、有意識(shí)地采取靈活、簡(jiǎn)捷的解法。
例1、乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽。3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有_________種(用數(shù)字作答)。
解：三名主力隊(duì)員的排法有
種，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置上有
種排法，故共有排法數(shù)=252種。
例2、
的展開(kāi)式中
的系數(shù)為
。
解：
得展開(kāi)式中的系數(shù)為
=179。
例3、已知函數(shù)
在區(qū)間
上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是 。
解：
，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，
在上為增函數(shù)，∴
，∴
。
2、特殊化法：當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論。這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程。
例4、在
ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數(shù)列，則
解法一：取特殊值a＝3, b＝4, c＝5 ,則cosA＝
cosC＝0, 
。
解法二：取特殊角A＝B＝C＝600 cosA＝cosC＝
,。
例5、如果函數(shù)
對(duì)任意實(shí)數(shù)
都有
，那么
的大小關(guān)系是 。
解：由于，故知
的對(duì)稱(chēng)軸是
。可取特殊函數(shù)
，即可求得
�！�
。
例6、已知SA，SB，SC兩兩所成角均為60°，則平面SAB與平面SAC所成的二面角為 。
解：取SA=SB=SC，則在正四面體S－ABC中，易得平面SAB與平面SAC所成的二面角為
。
例7、已知
是直線(xiàn)，
是平面，給出下列命題：①若
，則∥
；②若
，則∥；③若內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)到的距離都相等，則∥；④若
，且
∥，
∥，則∥；⑤若為異面直線(xiàn)，
，∥，,∥，則∥。則其中正確的命題是 。(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)
解：依題意可取特殊模型正方體AC1(如圖)，在正方體AC1中逐一判斷各命題，易得正確的命題是②⑤。
3、數(shù)形結(jié)合法：對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目條件的特點(diǎn)，作出符合題意的圖形，做到數(shù)中思形，以形助數(shù)，并通過(guò)對(duì)圖形的直觀(guān)分析、判斷，則往往可以簡(jiǎn)捷地得出正確的結(jié)果。
例8、已知向量
=
，向量
=
，則|2－|的最大值是
解：因
，故向量2和所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B都在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，從而|2－|的幾何意義即表示弦AB的長(zhǎng)，故|2－|的最大值為4。
例9、如果不等式
的解集為A，且
，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是
。
解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)
和
函數(shù)
的圖象(如圖)，從圖上容易得出實(shí)數(shù)的取
值范圍是
。
例10、設(shè)函數(shù) f(x)＝x3+ax2+2bx+c．若當(dāng) x∈(0，1)時(shí)，f(x)取得極大值；x∈(1，2)時(shí)，f(x)取得極小值，則 的取值范圍是 ．
解：f´(x)＝ x2+ax+2b，令f´(x)＝0，由條件知，上述方程應(yīng)滿(mǎn)足：一根在(0，1)之間，另一根在(1，2)之間，∴ ，得 ，在aob坐標(biāo)系中，作出上述區(qū)域如圖所示，而
的幾何意義是過(guò)兩點(diǎn)P(a，b)與A(1，2)的直線(xiàn)斜率，而P(a，b)在區(qū)域內(nèi)，由圖易知kPA∈(，1)．
4、等價(jià)轉(zhuǎn)化法：通過(guò)“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉”將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成便于解決的問(wèn)題，從而得到正確的結(jié)果。
例11、不等式
的解集為
，則
_______，
________。
解：設(shè)
，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：
∴a > 0，且2與
是方程
的兩根，由此可得：
。
例12、不論
為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)
與圓
恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
解：題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)(0，1)在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)(0，1)到圓
，∴
。
5、構(gòu)造法：根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，并借助于它認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的一種方法。
例13、如圖，點(diǎn)P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為 。
解：根據(jù)題意可將此圖補(bǔ)形成一正方體，在正方體中易求得PA與BD所成角為60°。
例14、4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒中，則只有1個(gè)空盒的放法共有 種(用數(shù)字作答)。
解：符合條件的放法是：有一個(gè)盒中放2個(gè)球，有2個(gè)盒中各放1個(gè)球。因此可先將球分成3堆(一堆2個(gè)，其余2堆各1個(gè)，即構(gòu)造了球的“堆”)，然后從4個(gè)盒中選出3個(gè)盒放3堆球，依分步計(jì)算原理，符合條件的放法有
(種)。
例15、橢圓 的焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是
解：構(gòu)造圓x2+y2＝5，與橢圓 聯(lián)立求得交點(diǎn)x02 ＝ 
x0∈(－ ，)
6、分析法：根據(jù)題設(shè)條件的特征進(jìn)行觀(guān)察、分析，從而得出正確的結(jié)論。
例16、如右圖，在直四棱柱
中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M(mǎn)足條件
時(shí)，有
(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件
即可，不必考慮所有可能性的情形)。
解：因四棱柱為直四棱柱，故
為
在面
上的射影，從而要使，只要
與垂直，故底面四邊形只要滿(mǎn)足條件
即可。
例17、以雙曲線(xiàn)
的左焦點(diǎn)F，左準(zhǔn)線(xiàn)l為相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓截直線(xiàn)
所得的弦恰好被x軸平分，則k的取值范圍是
。
解：左焦點(diǎn)F為(－2，0)，左準(zhǔn)線(xiàn)l：x ＝－，因橢圓截直線(xiàn)所得的弦恰好被x軸平分，故根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，橢圓的中心即為直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)
，由
，得0 ＜ k ＜ 。
數(shù)學(xué)填空題在前幾年江蘇高考中題量一直為4題，從去年開(kāi)始增加到6題，今年雖然保持不變，仍為6題，但分值增加，由原來(lái)的每題4分增加到每題5分，在高考數(shù)學(xué)試卷中占分達(dá)到了20%。它和選擇題同屬客觀(guān)性試題，它們有許多共同特點(diǎn)：其形態(tài)短小精悍、跨度大、知識(shí)覆蓋面廣、考查目標(biāo)集中，形式靈活，答案簡(jiǎn)短、明確、具體，評(píng)分客觀(guān)、公正、準(zhǔn)確等。
根據(jù)填空時(shí)所填寫(xiě)的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類(lèi)型：
一是定量型，要求考生填寫(xiě)數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線(xiàn)段長(zhǎng)度、角度大小等等。由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問(wèn)題出現(xiàn)。
二是定性型，要求填寫(xiě)的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫(xiě)給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如：給定二次曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等等。近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題。
在解答填空題時(shí)，由于不反映過(guò)程，只要求結(jié)果，所以對(duì)正確性的要求比解答題更高、更嚴(yán)格，《考試說(shuō)明》中對(duì)解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”。為此在解填空題時(shí)要做到：快--運(yùn)算要快，力戒小題大作；穩(wěn)--變形要穩(wěn)，不可操之過(guò)急；全--答案要全，力避殘缺不齊；活--解題要活，不要生搬硬套；細(xì)--審題要細(xì)，不能粗心大意。
(四)考好數(shù)學(xué)的“四大絕招”
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