14、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：
(1) 給出直線的方向向量
或
；
(2)給出
與
相交,等于已知過的中點(diǎn);
(3)給出
,等于已知
是
的中點(diǎn);
(4)給出
,等于已知
與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;
(5) 給出以下情形之一：①
；②存在實(shí)數(shù)
；③若存在實(shí)數(shù)
,等于已知
三點(diǎn)共線.
(6) 給出
，等于已知是
的定比分點(diǎn)，
為定比，即
(7) 給出
,等于已知
,即
是直角,給出
,等于已知是鈍角, 給出
,等于已知是銳角,
(8)給出
,等于已知
是的平分線/
(9)在平行四邊形
中，給出
，等于已知是菱形;
(10) 在平行四邊形中，給出
，等于已知是矩形;
(11)在
中，給出
，等于已知
是的外心(三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))；
(12) 在中，給出
，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn))；
(13)在中，給出
，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn))；
(14)在中，給出
等于已知
通過的內(nèi)心；
(15)在中，給出
等于已知是的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn))；
(16) 在中，給出
,等于已知
是中
邊的中線;
13．動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：
(1)求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍；
(2)求軌跡方程的常用方法：
①直接法：直接利用條件建立
之間的關(guān)系
；如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線
的距離之和等于4，求P的軌跡方程．(答：
或
)；
②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M(m，0)
，端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為 (答：
)；
③定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；如(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓
作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 (答：
)；(2)點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線
的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______ (答：
)；(3) 一動(dòng)圓與兩圓⊙M：
和⊙N：
都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為 (答：雙曲線的一支)；
④代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)
依賴于另一動(dòng)點(diǎn)
的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示
，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線
上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為
,點(diǎn)M分
所成的比為2，則M的軌跡方程為__________(答：
)；
⑤參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程)。如(1)AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)，使
，求點(diǎn)的軌跡。(答：
)；(2)若點(diǎn)
在圓
上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)
的軌跡方程是____(答：
)；(3)過拋物線
的焦點(diǎn)F作直線
交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是________(答：
)；
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。如已知橢圓
的左、右焦點(diǎn)分別是F1(－c，0)、F2(c，0)，Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足
點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足
(1)設(shè)
為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明
；(2)求點(diǎn)T的軌跡C的方程；(3)試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=
若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由. (答：(1)略；(2)
；(3)當(dāng)
時(shí)不存在；當(dāng)
時(shí)存在，此時(shí)∠F1MF2＝2)
②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.
③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.
④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化.
12．你了解下列結(jié)論嗎？
(1)雙曲線
的漸近線方程為
；
(2)以
為漸近線(即與雙曲線共漸近線)的雙曲線方程為
為參數(shù)，≠0)。如與雙曲線
有共同的漸近線，且過點(diǎn)
的雙曲線方程為_______(答：
)
(3)中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為
；
(4)橢圓、雙曲線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦)為
，焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為
，拋物線的通徑為
，焦準(zhǔn)距為
；
(5)通徑是所有焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)中最短的弦；
(6)若拋物線
的焦點(diǎn)弦為AB，
，則①
；②
(7)若OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)
11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓
中，以
為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－
；在雙曲線
中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=
。如(1)如果橢圓
弦被點(diǎn)A(4，2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 (答：
)；(2)已知直線y=－x+1與橢圓
相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______(答：
)；(3)試確定m的取值范圍，使得橢圓
上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線
對(duì)稱(答：
)；
特別提醒：因?yàn)?sub>
是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！
10、弦長公式：若直線
與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且
分別為A、B的橫坐標(biāo)，則
＝
，若
分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝
，若弦AB所在直線方程設(shè)為
，則＝
。特別地，焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如(1)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______(答：8)；(2)過拋物線
焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ΔABC重心的橫坐標(biāo)為_______(答：3)；
9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：(1)以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；(2)設(shè)AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF＝∠BMF；(3)設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A
，B，若P為AB的中點(diǎn)，則PA⊥PB；(4)若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線�！ �
8、焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)
的距離分別為
，焦點(diǎn)
的面積為
，則在橢圓中， ①
＝
，且當(dāng)
即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為
＝
；②
，當(dāng)
即為短軸端點(diǎn)時(shí)，
的最大值為bc；對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：①
；②
。如(1)短軸長為
，離心率
的橢圓的兩焦點(diǎn)為
、
，過作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則
的周長為________(答：6)；(2)設(shè)P是等軸雙曲線
右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若
，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為
(答：
)；(3)橢圓
的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)·<0時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 (答：
)；(4)雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝
，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且
是
與
等差中項(xiàng)，則＝__________(答：
)；(5)已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且
，
．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(答：
)；
7、焦半徑(圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離)的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑
，其中
表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如(1)已知橢圓
上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為____(答：
)；(2)已知拋物線方程為
，若拋物線上一點(diǎn)到
軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于____；(3)若該拋物線上的點(diǎn)
到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____(答：
)；(4)點(diǎn)P在橢圓
上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_______(答：
)；(5)拋物線
上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為______(答：2)；(6)橢圓
內(nèi)有一點(diǎn)
，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使
之值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______(答：
)；
6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：
(1)相交：
直線與橢圓相交； 
直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______(答：(-
,-1))；(2)直線y―kx―1=0與橢圓
恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_______(答：[1，5)∪(5，+∞))；(3)過雙曲線
的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條(答：3)；
(2)相切：
直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；
(3)相離：
直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。
特別提醒：(1)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)過雙曲線
＝1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；(3)過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。如(1)過點(diǎn)
作直線與拋物線
只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有______(答：2)；(2)過點(diǎn)(0,2)與雙曲線
有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為______(答：
)；(3)過雙曲線
的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若
4，則滿足條件的直線有____條(答：3)；(4)對(duì)于拋物線C：
，我們稱滿足
的點(diǎn)
在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：
與拋物線C的位置關(guān)系是_______(答：相離)；(5)過拋物線
的焦點(diǎn)
作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是
、
，則
_______(答：1)；(6)設(shè)雙曲線
的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線
交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于
，則
和
的大小關(guān)系為___________(填大于、小于或等于) (答：等于)；(7)求橢圓
上的點(diǎn)到直線
的最短距離(答：
)；(8)直線
與雙曲線
交于
、
兩點(diǎn)。①當(dāng)
為何值時(shí)，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？(答：①
；②
)；
5、點(diǎn)和橢圓(
)的關(guān)系：(1)點(diǎn)在橢圓外
；(2)點(diǎn)在橢圓上
＝1；(3)點(diǎn)在橢圓內(nèi)
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