13. 函數(shù)的周期性。
(1)類比“三角函數(shù)圖像”得：
①若
圖像有兩條對(duì)稱軸
，則必是周期函數(shù)，且一周期為
；
②若圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心
，則是周期函數(shù)，且一周期為；
③如果函數(shù)
的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心
和一條對(duì)稱軸
，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為
；
如已知定義在
上的函數(shù)
是以2為周期的奇函數(shù)，則方程
在
上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根(答：5)
(2)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足
，則是周期為
的周期函數(shù)”得：
①函數(shù)滿足
，則是周期為2的周期函數(shù)；
②若
恒成立，則
；
③若
恒成立，則.
如(1) 設(shè)是
上的奇函數(shù)，
，當(dāng)
時(shí)，
，則
等于_____(答：
)；(2)定義在
上的偶函數(shù)滿足
，且在
上是減函數(shù)，若
是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則
的大小關(guān)系為_________(答：
)；(3)已知是偶函數(shù)，且
=993，
=
是奇函數(shù)，求
的值(答：993)；(4)設(shè)
是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且
，又
，則
= (答：
)
12. 函數(shù)的對(duì)稱性。
①滿足條件
的函數(shù)的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱。如已知二次函數(shù)
滿足條件
且方程有等根，則＝_____(答：
)；
②點(diǎn)
關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn)為
；函數(shù)
關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為
；
③點(diǎn)關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn)為
；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為
；
④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為
；函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為
；
⑤點(diǎn)關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)為
；曲線
關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為
。特別地，點(diǎn)關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)為
；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為
；點(diǎn)關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)為
；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為
。如己知函數(shù)
,若
的圖像是
,它關(guān)于直線對(duì)稱圖像是
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為
對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________(答：
)；
⑥曲線關(guān)于點(diǎn)
的對(duì)稱曲線的方程為
。如若函數(shù)
與
的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2，3)對(duì)稱，則＝______(答：
)
⑦形如
的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線
(由分母為零確定)和直線
(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)
。如已知函數(shù)圖象
與
關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象關(guān)于點(diǎn)(2，－3)對(duì)稱，則a的值為______(答：2)
⑧
的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；
的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到。如(1)作出函數(shù)
及
的圖象；(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)
的圖象關(guān)于____對(duì)稱 (答：軸)
提醒：(1)從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問題；(2)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；(3)證明圖像
與
的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上；②證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上。如(1)已知函數(shù)
。求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)
成中心對(duì)稱圖形；(2)設(shè)曲線C的方程是
,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動(dòng)
單位長度后得曲線。①寫出曲線的方程(答：
)；②證明曲線C與關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱。
11. 常見的圖象變換
①函數(shù)
的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位得到的。如設(shè)
的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，
的圖像由的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則為__________(答： 
)
②函數(shù)(
的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移
個(gè)單位得到的。如(1)若
，則函數(shù)的最小值為____(答：2)；(2)要得到
的圖像，只需作
關(guān)于_____軸對(duì)稱的圖像，再向____平移3個(gè)單位而得到(答：；右)；(3)函數(shù)
的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有____個(gè)(答：2)
③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個(gè)單位得到的；
④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個(gè)單位得到的；如將函數(shù)
的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線
對(duì)稱,那么 
(答：C)
⑤函數(shù)
的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的
得到的。如(1)將函數(shù)
的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>
(縱坐標(biāo)不變)，再將此圖像沿軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_____(答：
)；(2)如若函數(shù)
是偶函數(shù)，則函數(shù)
的對(duì)稱軸方程是_______(答：
)．
⑥函數(shù)
的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.
10.函數(shù)的單調(diào)性。
(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法(取值――作差――變形――定號(hào))、導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間內(nèi)，若總有
，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則
，請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：
))；
②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意
型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為
，減區(qū)間為
.如(1)若函數(shù)
在區(qū)間(－∞，4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：
))；(2)已知函數(shù)
在區(qū)間
上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____(答：
)；(3)若函數(shù)
的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：
且
))；
③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：(1,2))。
(2)特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)
在區(qū)間
上為減函數(shù)，求的取值范圍(答：
)；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“
”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．
(3)你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?(①比較大小；②解不等式；③求參數(shù)范圍).如已知奇函數(shù)是定義在
上的減函數(shù),若
，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。(答：
)
9.函數(shù)的奇偶性。
(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如若函數(shù)
，
為奇函數(shù)，其中
，則
的值是 (答：0)；
(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性)：
①定義法：如判斷函數(shù)
的奇偶性____(答：奇函數(shù))。
②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：
或
(
)。如判斷
的奇偶性___.(答：偶函數(shù))
③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。
(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：
①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.
②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).
③若為偶函數(shù)，則
.如若定義在R上的偶函數(shù)在
上是減函數(shù)，且
=2，則不等式
的解集為______.(答：
)
④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有
.故是
為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若
為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)＝____(答：1).
⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和(或差)”。如設(shè)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)， 
，
。①判斷
與
的奇偶性； ②若將函數(shù)
，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則＝____(答：①為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；②＝
)
⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.
⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)(，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集).
8. 反函數(shù)：
(1)存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來函數(shù)值域中的任一個(gè)值，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有
有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)
在區(qū)間[1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是A、
B、
C、
D、
(答：D)
(2)求反函數(shù)的步驟：①反求；②互換 、；③注明反函數(shù)的定義域(原來函數(shù)的值域)。注意函數(shù)
的反函數(shù)不是
，而是
。如設(shè)
.求
的反函數(shù)
(答：
)．
(3)反函數(shù)的性質(zhì)：
①反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)滿足條件
= x ，其中≠ 0 ，若的反函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
，則的定義域是____________(答：[4,7]).
②函數(shù)的圖象與其反函數(shù)
的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，注意函數(shù)的圖象與
的圖象相同。如(1)已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,1),那么
的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)_____(答：(1,3))；(2)已知函數(shù)
，若函數(shù)
與
的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求
的值(答：
)；
③
。如(1)已知函數(shù)
，則方程
的解
______(答：1)；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，且存在反函數(shù)
，f (4)＝0，則
＝ (答：－2)
④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知
是
上的增函數(shù)，點(diǎn)
在它的圖象上，
是它的反函數(shù)，那么不等式
的解集為________(答：(2,8))；
⑤設(shè)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有
，
，但
。
7.求函數(shù)解析式的常用方法：
(1)待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：
；頂點(diǎn)式：
；零點(diǎn)式：
，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式)。如已知為二次函數(shù)，且 
，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2
,求的解析式 。(答：
)
(2)代換(配湊)法――已知形如
的表達(dá)式，求的表達(dá)式。如(1)已知
求
的解析式(答：
)；(2)若
，則函數(shù)
=_____(答：
)；(3)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)
時(shí)，
，那么當(dāng)
時(shí)，=________(答：
). 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域。
(3)方程的思想――已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如(1)已知
，求的解析式(答：
)；(2)已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= 
,則= __(答：
)。
6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值
時(shí)，一定首先要判斷
屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如(1)設(shè)函數(shù)
，則使得
的自變量的取值范圍是__________(答：
)；(2)已知
，則不等式
的解集是________(答：
)
5.求函數(shù)值域(最值)的方法：
(1)配方法――二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間
上的最值；二是求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱軸動(dòng)(定)的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系)，如(1)求函數(shù)
的值域(答：[4,8])；(2)當(dāng)
時(shí)，函數(shù)
在
時(shí)取得最大值，則的取值范圍是___(答：
)；(3)已知
的圖象過點(diǎn)(2,1)，則
的值域?yàn)開_____(答：[2, 5])
(2)換元法――通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如(1)
的值域?yàn)開____(答：
)；(2)
的值域?yàn)開____(答：
)(令
，
。運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元
的范圍)；(3)
的值域?yàn)開___(答：
)；(4)
的值域?yàn)開___(答：
)；
(3)函數(shù)有界性法――直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)
，
，
的值域(答： 
、(0,1)、)；
(4)單調(diào)性法――利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求
，
，
的值域?yàn)開_____(答：
、
、
)；
(5)數(shù)形結(jié)合法――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如(1)已知點(diǎn)
在圓
上，求
及
的取值范圍(答：
、
)；(2)求函數(shù)
的值域(答：
)；(3)求函數(shù)
及
的值域(答：
、
)注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在軸的同側(cè)。
(6)判別式法――對(duì)分式函數(shù)(分子或分母中有一個(gè)是二次)都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：
①
型，可直接用不等式性質(zhì)，如求
的值域(答：
)
②
型，先化簡，再用均值不等式，如(1)求
的值域(答：)；(2)求函數(shù)
的值域(答：
)
③
型，通常用判別式法；如已知函數(shù)
的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求常數(shù)
的值(答：
)
④
型，可用判別式法或均值不等式法，如求
的值域(答：
)
(7)不等式法――利用基本不等式
求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如設(shè)
成等差數(shù)列，
成等比數(shù)列，則
的取值范圍是____________.(答：
)。
(8)導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)
，
的最小值。(答：－48)
提醒：(1)求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？
4. 求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則)：
(1)根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)
中
且，三角形中
, 最大角
，最小角
等。如(1)函數(shù)
的定義域是____(答：
)；(2)若函數(shù)
的定義域?yàn)镽，則
_______(答：
)；(3)函數(shù)的定義域是
，
，則函數(shù)
的定義域是__________(答：
)；(4)設(shè)函數(shù)
，①若的定義域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若的值域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍(答：①
；②
)
(2)根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。
(3)復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?sub>,其復(fù)合函數(shù)
的定義域由不等式
解出即可；若已知的定義域?yàn)?sub>,求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)
時(shí)，求的值域(即的定義域)。如(1)若函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
，則
的定義域?yàn)開_________(答：
)；(2)若函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
，則函數(shù)的定義域?yàn)開_______(答：[1,5])．
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