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3. 同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域?yàn)閧4，1}的“天一函數(shù)”共有______個(gè)(答：9)

2.函數(shù): AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè)。如(1)已知函數(shù)，，那么集合中所含元素的個(gè)數(shù)有　　　 個(gè)(答： 0或1)；(2)若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則＝　　　 (答：2)

1.映射: AB的概念。在理解映射概念時(shí)要注意：⑴A中元素必須都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如(1)設(shè)是集合到的映射，下列說法正確的是　A、中每一個(gè)元素在中必有象　　 B、中每一個(gè)元素在中必有原象　C、中每一個(gè)元素在中的原象是唯一的 　D、是中所在元素的象的集合(答：A)；(2)點(diǎn)在映射的作用下的象是，則在作用下點(diǎn)的原象為點(diǎn)________(答：(2，－1))；(3)若，，，則到的映射有　　 個(gè)，到的映射有　 個(gè)，到的函數(shù)有　　 個(gè)(答：81,64,81)；(4)設(shè)集合，映射滿足條件“對(duì)任意的，是奇數(shù)”，這樣的映射有____個(gè)(答：12)；(5)設(shè)是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則一定是_____(答：或{1}).

30、你熟悉下列結(jié)論嗎？

⑴三個(gè)平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點(diǎn)，那么第三條交線也經(jīng)過這一點(diǎn)；

⑵從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；

⑶AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影成，設(shè)∠BAC=,則coscos=cos；

⑷如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面；

⑸若長方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos²+

cos²+cos²=1；若長方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos²+cos²+cos²=2。如(1)長方體中若一條對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面中的二個(gè)面所成的角為30°、45°，則與第三個(gè)面所成的角為____________(答：30°)；(2)若一條對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則的關(guān)系為____________。(答：)

⑹若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。如若正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比為，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角等于__(答：)

⑺在三棱錐中：①側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；③頂點(diǎn)到底面三角形各邊的距離相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.提醒：③若頂點(diǎn)在底面上的射影在底面三角形外，則頂點(diǎn)在底上射影為底面的旁心。

⑻正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長；正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。

29、立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：

(1)求空間角、距離，歸到三角形中求解；

(2)對(duì)于球的內(nèi)接外切問題，作適當(dāng)?shù)慕孛妯D―既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系。如(1)甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____(答：1∶2∶3)；(2)若正四面體的棱長為，則此正四面體的外接球的表面積為_____(答：)；(3)已知一個(gè)半徑為的球中有一個(gè)各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_____(答：)；

(3)求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離。如已知正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，則的最小值是_____(答：)；

28、球的體積和表面積公式：V＝。如(1)在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49cm²、400cm²，則球的表面積為______(答：)；(2)三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。(答：表面積，體積)；(3)已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡(曲面)與共一頂點(diǎn)的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為為______(答：)；

27、球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r＝。提醒：球與球面的區(qū)別(球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部)。如(1)在半徑為10的球面上有三點(diǎn)，如果，則球心到平面的距離為______(答：)；(2)已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為______(答：12)

26、正多面體：(1)定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體。(2)正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個(gè)面都是正三角形，正六面體的每個(gè)面都是正方形，正十二面體的每個(gè)面都是正五形邊，如下圖：

正四面體　正六面體　正八面體　　正十二面體　　正二十面體

25、體積：

(1)棱柱：體積＝底面積×高，或體積＝直截面面積×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長；三棱柱的體積(其中為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離)。如(1)設(shè)長方體的三條棱長分別為a、b、c，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對(duì)角線長度為5，體積為2，則等于__(答：)；(2)斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，側(cè)棱AA₁和AB、AC都成45°的角，則棱柱的側(cè)面積為___，體積為___(答：；)。

(2)棱錐：體積＝×底面積×高。如(1)已知棱長為1的正方體容器ABCD-A₁B₁C₁D₁中，在A₁B、A₁B₁、B₁C₁的中點(diǎn)E、F、G處各開有一個(gè)小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積(小孔面積對(duì)容積的影響忽略不計(jì))是_____(答：)；(2)在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為__(答：)；(3)已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為___(答：)；(4)在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結(jié)論，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩點(diǎn)互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P-ABC的高為h，則結(jié)論為______________(答：)．

特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法(割補(bǔ)成易求體積的多面體。補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是　　　　 (答：1：2：3)和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等.如(1)用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于三點(diǎn)，若，

，則多面體的體積為_____(答：7)；(2)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為，P、Q分別是側(cè)棱AA₁、CC₁上的點(diǎn)，且AP=C₁Q，則四棱錐B-APQC的體積為　　　 (答：)；(3)如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為________(答：4)。

24、側(cè)面積(各個(gè)側(cè)面面積之和)：

(1)棱柱：側(cè)面積＝直截面(與各側(cè)棱都垂直相交的截面)周長×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積＝底面周長×側(cè)棱長。如(1)長方體的高為h，底面積為Q，垂直于底的對(duì)角面的面積為M，則此長方體的側(cè)面積為______(答：)；(2)斜三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，二面角C-A₁A-B為120°，側(cè)棱AA₁于另外兩條棱的距離分別為7cm、8cm，AA₁=12cm，則斜三棱柱的側(cè)面積為______(答：)；(3)若斜三棱柱的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，相鄰兩側(cè)棱之間的距離都為5，則該三棱柱的側(cè)面積為______(答：120)。

(2)正棱錐：正棱錐的側(cè)面積＝×底面周長×斜高。如(1)已知正四棱錐P－ABCD的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積是_______(答：)；(2)已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于______(答：)。

提醒：全面積(也稱表面積)是各個(gè)表面面積之和，故棱柱的全面積＝側(cè)面積+2×底面積；棱錐的全面積＝側(cè)面積+底面積。