(三)如何解決綜合性問題
提高解數(shù)學(xué)綜合性問題的能力是提高高考數(shù)學(xué)成績的根本保證。解好綜合題對于那些想考一流大學(xué)，并對數(shù)學(xué)成績期望值較高的同學(xué)來說，是一道生命線，往往“成也蕭何敗也蕭何”；對于那些定位在二流大學(xué)的學(xué)生而言，這里可是放手一搏的好地方。
1、綜合題在高考試卷中的位置與作用：
數(shù)學(xué)綜合性試題常常是高考試卷中把關(guān)題和壓軸題。在高考中舉足輕重，高考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預(yù)設(shè)目標。目前的高考綜合題已經(jīng)由單純的知識疊加型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力綜合型尤其是創(chuàng)新能力型試題。綜合題是高考數(shù)學(xué)試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等特點。
2、解綜合性問題的三字訣：
“三性”：綜合題從題設(shè)到結(jié)論，從題型到內(nèi)容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計的多樣性。在審題思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明確解題結(jié)果的終極目標和每一步驟分項目標。(2)準確性：提高概念把握的準確性和運算的準確性。(3)隱含性：注意題設(shè)條件的隱含性。審題這第一步，不要怕慢，其實慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準確性的前提和保證。
“三化”：(1)問題具體化(包括抽象函數(shù)用具有相同性質(zhì)的具體函數(shù)作為代表來研究，字母用常數(shù)來代表)。即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關(guān)系具體明確，有時可畫表格或圖形，以便于把一般原理、一般規(guī)律應(yīng)用到具體的解題過程中去。(2)問題簡單化。即把綜合問題分解為與各相關(guān)知識相聯(lián)系的簡單問題，把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式。(3)問題和諧化。即強調(diào)變換問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式符合數(shù)或形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點，或者突出所涉及的各種數(shù)學(xué)對象之間的知識聯(lián)系。
“三轉(zhuǎn)”：(1)語言轉(zhuǎn)換能力。每個數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強的語言轉(zhuǎn)換能力。還需要有把普通語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力。(2)概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強的數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換能力。(3)數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。解題中的數(shù)形結(jié)合，就是對題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合上找出解題思路。運用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性，否則解題會出現(xiàn)漏洞。
“三思”：(1)思路：由于綜合題具有知識容量大，解題方法多，因此，審題時應(yīng)考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設(shè)置往往會突顯考查數(shù)學(xué)思想方法，解題時應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的運用。(3)思辯：即在解綜合題時注意思路的選擇和運算方法的選擇。
“三聯(lián)”：(1)聯(lián)系相關(guān)知識，(2)連接相似問題，(2)聯(lián)想類似方法。
3、對平時綜合練習(xí)的反思：
平時做完綜合練習(xí)后，要注重反思這一環(huán)節(jié)，注意方法的優(yōu)化。要把解題的過程抽象形成思維模塊，注意方法的遷移和問題的拓展。再最后的自由復(fù)習(xí)階段也可選取部分做過的綜合卷中的“壓軸題”進行反思，主要研究：審題分析的過程(如：尋求條件與結(jié)論聯(lián)系，與基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，與平時基本方法的聯(lián)系)、隱含條件的運用、計算方法及準確性。
(二)解題思考步驟、程序表
(一)高考應(yīng)試心理、策略、技巧
高考要取得好成績，首先要有扎實的基礎(chǔ)知識、熟練的基本技能和在長年累月的刻苦鉆研中培養(yǎng)起來的數(shù)學(xué)能力，同時，也取決于臨場的發(fā)揮，高考的特點是以學(xué)生解題能力的高低為標準的一次性選拔，這就使得臨場發(fā)揮顯得尤為重要，研究和總結(jié)臨場解題策略，進行應(yīng)試訓(xùn)練和心理輔導(dǎo)，已成為高考輔導(dǎo)的重要內(nèi)容之一，正確運用數(shù)學(xué)高考臨場解題策略，不僅可以預(yù)防各種心理障礙造成的不合理丟分和計算失誤及筆誤，而且能運用科學(xué)的檢索方法，建立神經(jīng)聯(lián)系，挖掘思維和知識的潛能，考出最佳成績。
1、提前進入“角色”
高考前一個晚上睡足八個小時，吃好清淡早餐，按清單帶齊一切用具，提前半小時到達考區(qū)，一方面可以消除新異刺激，穩(wěn)定情緒，從容進場，另一方面也留有時間提前進入“角色”--讓大腦開始簡單的數(shù)學(xué)活動，進入單一的數(shù)學(xué)情境。如：
1．清點一下用具是否帶全(筆、橡皮、作圖工具、準考證、手表等)。
2．把一些基本數(shù)據(jù)、常用公式、重要定理“過過電影”。
3．最后看一眼難記易忘的結(jié)論。(這些你記住了嗎？)
4．互問互答一些不太復(fù)雜的問題。(啟動你的思維)
通過清點用具、暗示重要知識和方法、提醒常見解題誤區(qū)和自己易出現(xiàn)的錯誤等，進行針對性的自我安慰，從而減輕壓力，輕裝上陣，穩(wěn)定情緒、增強信心，使思維單一化、數(shù)學(xué)化、以平穩(wěn)自信、積極主動的心態(tài)準備應(yīng)考。一些經(jīng)驗表明，“過電影”的成功順利，互問互答的愉快輕松，不僅能夠轉(zhuǎn)移考前的恐懼，而且有利于把最佳競技狀態(tài)帶進考場。
2、精神要放松，情緒要自控
情緒樂觀、思維活躍、適度焦慮、激發(fā)動機、積極暗示、挖掘潛能、體育鍛煉、心境樂觀、學(xué)習(xí)之余學(xué)會休閑。最易導(dǎo)致心理緊張、焦慮和恐懼的是入場后與答卷前的“臨戰(zhàn)”階段，此間保持心態(tài)平衡的方法有三種：①轉(zhuǎn)移注意法：避開監(jiān)考者的目光，把注意力轉(zhuǎn)移到某一次你印象較深的數(shù)學(xué)模擬考試的評講課上，回憶考試原則，有效得分時間。②自我安慰法：如“我經(jīng)過的考試多了，沒什么了不起”，“考試，老師監(jiān)督下的獨立作業(yè)，無非是換一換環(huán)境”等。③抑制思維法：閉目而坐，氣貫丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐氣，如此進行到發(fā)卷時。
3、迅速摸透“題情”
剛拿到試卷，一般心情比較緊張，不忙匆匆作答，可先從頭到尾、正面反面通覽全卷，盡量從卷面上獲取最多的信息，為實施正確的解題策略作全面調(diào)查，摸透題情，然后穩(wěn)操一兩個易題熟題，讓自己產(chǎn)生“旗開得勝”的快意，從而有一個良好的開端，以振奮精神，鼓舞信心，很快進入最佳思維狀態(tài)，以保證有良好的開端之后做一題得一題，不斷產(chǎn)生正激勵，穩(wěn)拿中低，見機攀高。。
通覽全卷是克服“前面難題做不出，后面易題沒時間做”的有效措施，也從根本上防止了“漏做題”。
4、 信心要充足，暗示靠自己
答卷中，見到簡單題，要細心，莫忘乎所以，謹防“大意失荊州”。面對偏難的題，要耐心，不能急。對于海中的學(xué)生要求做到：堅定信心、步步為營、力克難題�？荚嚾潭家_定“人易我易，我不大意；人難我難，我不畏難”的必勝信念，使自己始終處于最佳競技狀態(tài)。
5、八先八后
在通覽全卷，將簡單題順手完成的情況下，情緒基本趨于穩(wěn)定，大腦趨于亢奮，此后七八十分鐘內(nèi)就是最佳狀態(tài)的發(fā)揮或收獲豐碩果實的黃金季節(jié)了。實踐證明，滿分卷是極少數(shù)，絕大部分考生都只能拿下大部分題目或題目的大部分得分。因此，實施“八先八后”及“分段得分”的考試藝術(shù)是明智的。
1．先易后難。就是先做簡單題，再做綜合題。應(yīng)根據(jù)自己的實際，果斷跳過啃不動的題目，從易到難，也要注意認真對待每一道題，力求有效，不能走馬觀花，有難就退，傷害解題情緒。
2．先熟后生。通覽全卷，可以得到許多有利的積極因素，也會看到一些不利之處。對后者，不要驚慌失措。應(yīng)想到試題偏難對所有考生也難。通過這種暗示，確保情緒穩(wěn)定。對全卷整體把握之后，就可實施先熟后生的策略，即先做那些內(nèi)容掌握比較到家、題型結(jié)構(gòu)比較熟悉、解題思路比較清晰的題目。這樣，在拿下熟題的同時，可以使思維流暢、超常發(fā)揮，達到拿下中高檔題目的目的。
3．先同后異。就是說，可考慮先做同學(xué)科同類型的題目。這樣思考比較集中，知識或方法的溝通比較容易，有利于提高單位時間的效益。一般說來，考試解題必須進行“興奮灶” 轉(zhuǎn)移，思考必須進行代數(shù)學(xué)科與幾何學(xué)科的相互換位，必須進行從這一章節(jié)到那一章節(jié)的跳躍，但“先同后異”可以避免“興奮灶”過急、過頻和過陡的跳躍，從而減輕大腦負擔(dān)，保持有效精力。
4．先小后大。小題一般是信息量少、運算量小，易于把握，不要輕易放過，應(yīng)爭取在大題之前盡快解決，從而為解決大題贏得時間，創(chuàng)造一個寬松的心理氣氛。
5．先點后面。近年的高考數(shù)學(xué)解答題多呈現(xiàn)為多問漸難式的“梯度題”，解答時不必一氣審到底，應(yīng)走一步解決一步，而前面問題的解決又為后面問題準備了思維基礎(chǔ)和解題條件，所以要步步為營，由點到面。
6．先局部后整體。對一個疑難問題，確實啃不動時，一個明智的解題策略是：將它劃分為一個個子問題或一系列的步驟，先解決問題的一部分，即能解決到什么程度就解決到什么程度，能演算幾步就寫幾步，每進行一步就可得到這一步的分數(shù)。如從最初的把文字語言譯成符號語言，把條件和目標譯成數(shù)學(xué)表達式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)，設(shè)軌跡題的動點坐標，依題意正確畫出圖形等，都能得分。還有像完成數(shù)學(xué)歸納法的第一步，分類討論，反證法的簡單情形等，都能得分。而且可望在上述處理中，從感性到理性，從特殊到一般，從局部到整體，產(chǎn)生頓悟，形成思路，獲得解題成功。
7.先面后點。解決應(yīng)用性問題，首先要全面審察題意，迅速接受概念，此為“面”；透過冗長敘述，抓住重點詞句，提出重點數(shù)據(jù)，此為“點”；綜合聯(lián)系，提煉關(guān)系，依靠數(shù)學(xué)方法，建立數(shù)學(xué)模型，此為“線”。如此將應(yīng)用性問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題。當然，求解過程和結(jié)果都不能離開實際背景。
8．先高(分)后低(分)。這里主要是指在考試的后半段時要特別注重時間效益，如兩道題都會做，先做高分題，后做低分題，以使時間不足時少失分；到了最后十分鐘，也應(yīng)對那些拿不下來的題目就高分題“分段得分”，以增加在時間不足前提下的得分。
八先八后，要結(jié)合實際，要因人而異，謹防“高分題久攻不下，低分題無暇顧及”。
6、一細一實
就是說，審題要細，做題要實。
題目本身是“怎樣解這道題”的信息源，所以審題一定要逐字逐句看清楚，力求從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)含義等各方面真正看清題意。審題是整個解題過程的“基礎(chǔ)工程”，必須充分搞清題意，綜合所有條件，提煉全部線索，形成整體認識，為形成解題思路提供全面可靠的依據(jù)。解題實踐表明，條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向。凡是題目未明顯寫出的，一定是隱蔽給予的，只有細致的審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這一步不要怕慢。
找到解題方法后，書寫要簡明扼要，快速規(guī)范，不要拖泥帶水，啰嗦重復(fù)，尤忌畫蛇添足。一般來說，一個原理寫一步就可以了，至于不是題目考查的過渡知識，可以直接寫出結(jié)論。高考允許合理省略非關(guān)鍵步驟。
為了提高書寫效率，應(yīng)盡量使用數(shù)學(xué)語言、符號，這比文字敘述要節(jié)省而嚴謹。
7、分段得分
對于同一道題目，有的人理解得深，有的人理解得淺，有的人解決得多，有的人解決得少。為了區(qū)分這種情況，高考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分。這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”--踩上知識點就得分，踩得多就多得分。
鑒于這一情況，高考中對于難度較大的題目采用“分段得分”的策略實為一種高招兒。其實，考生的“分段得分”是高考“分段評分”的邏輯必然。“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分。
1．對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題。有的考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的--會而不對。有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關(guān)鍵步驟--對而不全。因此，會做的題目要特別注意表達的準確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學(xué)，防止被“分段扣點分”。經(jīng)驗表明，對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分。
2．對絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密。
① 缺步解答
如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每進行一步得分點的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分數(shù)卻已過半，這叫“大題拿小分”，確實是個好主意。
②跳步答題
解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時，我們可以先承認中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論。如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預(yù)期結(jié)論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”。
由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克來不及了，那么可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續(xù)有……”一直做到底，這就是跳步解答。也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面，“事實上，某步可證明或演算如下”，以保持卷面的工整。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作“已知”，“先做第二問”，這也是跳步解答。
③退步解答
“以退求進”是一個重要的解題策略。對于一個較一般的問題，如果你一時不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到部分，從參變量退到常量，從較強的結(jié)論退到較弱的結(jié)論�？傊�，退到一個你能夠解決的問題，通過對“特殊”的思考與解決，啟發(fā)思維，達到對“一般”的解決。為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”。
④逆向解答
對一個問題正面思考發(fā)生思維受阻時，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能得到突破性的進展。順向推有困難就逆推，直接證有困難就反證。如用分析法，從肯定結(jié)論或中間步驟入手，找充分條件；用反證法，從否定結(jié)論入手找必要條件。
⑤輔助解答
一道題目的完整解答，既有主要的實質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟。實質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉，既必不可少而又不困難。如：準確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)等。
書寫也是輔助解答。“書寫要工整、卷面能得分”是說第一印象好會在閱卷老師的心理上產(chǎn)生光環(huán)效應(yīng)：書寫認真-學(xué)習(xí)認真-成績優(yōu)良-給分偏高。
有些選擇題，“大膽猜測”也是一種輔助解答，實際上猜測也是一種能力。
8、以快為上
高考數(shù)學(xué)試卷共有22個題，考試時間為兩個小時，平均每題約為5.5分鐘。為了給解答題的中高檔題留下較充裕的時間，每道選擇題、填空題應(yīng)在二至三分鐘之內(nèi)解決。若這些題目用時太長，即使做對了也是“潛在丟分”，或“隱含失分”。一般，客觀性試題與主觀性試題的時間分配為4:6。
9、立足中下題目，力爭高水平
平時做作業(yè)，都是按所有題目來完成的，但高考卻不然，只有個別的同學(xué)能交滿分卷，因為時間和個別題目的難度都不允許多數(shù)學(xué)生去做完、做對全部題目，所以在答卷中要立足中下題目。中下題目通常占全卷的80%以上，是試題的主要構(gòu)成，是考生得分的主要來源。學(xué)生能拿下這些題目，實際上就是數(shù)學(xué)科打了個勝仗，有了勝利在握的心理，對攻克高檔題會更放得開。
10、確保運算正確，立足一次性成功
高考是限時限量的選拔性考試，在120分鐘時間內(nèi)完成大小22個題，時間很緊張，不允許做大量細致的解后檢驗，所以要盡量準確運算(關(guān)鍵步驟，力求準確，寧慢勿快)，立足一次成功。解題速度是建立在解題準確度基礎(chǔ)上，更何況數(shù)學(xué)題的中間數(shù)據(jù)常常不但從“數(shù)量”上，而且從“性質(zhì)”上影響著后繼各步的解答。所以，在答卷時，要在以快為上的前提下，要穩(wěn)扎穩(wěn)打，字字有據(jù)，步步準確，，盡量一次性成功，提高成功率。不能為追求速度而丟掉準確度，甚至丟掉重要的得分步驟。假如速度與準確不可兼得的說，就只好舍快求對了，因為解答不對，再快也無意義。
試題做完后要認真做好解后檢查，看是否有空題，答卷是否準確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規(guī)范，尤其是要審查字母、符號是否抄錯。
經(jīng)過緊張有序的高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)，高校招生考試即將來臨，不少同學(xué)認為高考數(shù)學(xué)的成敗已成定局。其實不然，由于這次考試與期中、期末、模擬考試不同，社會的注目，家庭的熱切關(guān)心，老師的期望，考試成績又與同學(xué)們的切生利益相關(guān)，由于重要，可能導(dǎo)致部分同學(xué)精神上高度緊張，考前想的很多，會產(chǎn)生波動；但是，我們只要講究高考數(shù)學(xué)應(yīng)試的藝術(shù)，還是能把高考數(shù)學(xué)成績提高一個檔次。
(四)選擇題解題的常見失誤
1、審題不慎
例46、設(shè)集合M＝{直線}，P＝{圓}，則集合
中的元素的個數(shù)為 ( )
A、0 B、1 C、2 D、0或1或2
誤解：因為直線與圓的位置關(guān)系有三種，即交點的個數(shù)為0或1或2個，所以中的元素的個數(shù)為0或1或2。故選D。
剖析：本題的失誤是由于審題不慎引起的，誤認為集合M，P就是直線與圓，從而錯用直線與圓的位置關(guān)系解題。實際上，M，P表示元素分別為直線和圓的兩個集合，它們沒有公共元素。故選A。
2、忽視隱含條件
例47、若
、
分別是
的等差中項和等比中項，則
的值為 ( )
A、
B、
C、
D、
誤解：依題意有
， ① 
②
由①2-②×2得，
，解得
。故選C。
剖析：本題失誤的主要原因是忽視了三角函數(shù)的有界性這一隱含條件。事實上，由
，得
，所以不合題意。故選A。
3、概念不清
例48、已知
，且
，則m的值為( )
A、2 B、1 C、0 D、不存在
誤解：由，得
，方程無解，m不存在。故選D。
剖析：本題的失誤是由概念不清引起的，即，則
，是以兩直線的斜率都存在為前提的。若一直線的斜率不存在，另一直線的斜率為0，則兩直線也垂直。當m=0時，顯然有；若
時，由前面的解法知m不存在。故選C。
4、忽略特殊性
例49、已知定點A(1，1)和直線
，則到定點A的距離與到定直線
的距離相等的點的軌跡是 ( )
A、橢圓 B、雙曲線 C、拋物線 D、直線
誤解：由拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線。故選C。
剖析：本題的失誤在于忽略了A點的特殊性，即A點落在直線上。故選D。
5、
思維定勢
例50、如圖1，在正方體AC1中盛滿水，E、F、G分別為A1B1、BB1、BC1的中點。若三個小孔分別位于E、F、G三點處，則正方體中的水最多會剩下原體積的 ( )
A、
B、
C、
D、
誤解：設(shè)平面EFG與平面CDD1C1交于MN，則平面EFMN左邊的體積即為所求，由三棱柱B1EF-C1NM的體積為
，故選B。
剖析：在圖2中的三棱錐ABCD中，若三個小孔E、F、G分別位于所在棱的中點處，則在截面EFG下面的部分就是盛水最多的。本題的失誤在于受圖2的思維定勢，即過三個小孔的平面為截面時分成的兩部分中，較大部分即為所求。事實上，在圖1中，取截面BEC1時，小孔F在此截面的上方，
，故選A。
6、轉(zhuǎn)化不等價
例51、函數(shù)
的值域為 ( )
A、
B、
C、
D、
誤解：要求原函數(shù)的值域可轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。因為反函數(shù)
，所以
，故選A。
剖析：本題的失誤在于轉(zhuǎn)化不等價。事實上，在求反函數(shù)時，由
，兩邊平方得
，這樣的轉(zhuǎn)化不等價，應(yīng)加上條件
，即
，進而解得，
，故選D。
(三)選擇題中的隱含信息之挖掘
1、挖掘“詞眼”
例38、過曲線
上一點
的切線方程為( )
A、
B、
C、
D、
錯解：
，從而以A點為切點的切線的斜率為–9，即所求切線方程為
故選C。
剖析：上述錯誤在于把“過點A的切線”當成了“在點A處的切線”，事實上當點A為切點時，所求的切線方程為，而當A點不是切點時，所求的切線方程為
故選D。
2、挖掘背景
例39、已知
，
為常數(shù)，且
，則函數(shù)
必有一周期為 ( )
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：由于
，從而函數(shù)的一個背景為正切函數(shù)tanx，取
，可得必有一周期為4。故選C。
3、挖掘范圍
例40、設(shè)
、
是方程
的兩根，且
，則
的值為 ( )
A、
B、
C、
D、
錯解：易得
，從而
故選C。
剖析：事實上，上述解法是錯誤的，它沒有發(fā)現(xiàn)題中的隱含范圍。由韋達定理知
.從而
，故
故選A。
4、挖掘偽裝
例41、若函數(shù)
，滿足對任意的
、
，當
時，
，則實數(shù)的取值范圍為( )
A、
B、
C、
D、
分析：“對任意的x1、x2，當時，”實質(zhì)上就是“函數(shù)單調(diào)遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“有意義”。事實上由于
在
時遞減，從而
由此得a的取值范圍為。故選D。
5、挖掘特殊化
例42、不等式
的解集是( )
A、
B、
C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6}
分析：四個選項中只有答案D含有分數(shù)，這是何故？宜引起高度警覺，事實上，將x值取4.5代入驗證，不等式成立，這說明正確選項正是D，而無需繁瑣地解不等式。
6、挖掘修飾語
例43、在紀念中國人民抗日戰(zhàn)爭勝利六十周年的集會上，兩校各派3名代表，校際間輪流發(fā)言，對日本侵略者所犯下的滔天罪行進行控訴，對中國人民抗日斗爭中的英勇事跡進行贊頌，那么不同的發(fā)言順序共有( )
A、72種 B、36種 C、144種 D、108種
分析：去掉題中的修飾語，本題的實質(zhì)就是學(xué)生所熟悉的這樣一個題目：三男三女站成一排，男女相間而站，問有多少種站法？因而易得本題答案為
。故選A。
7、挖掘思想
例44、方程
的正根個數(shù)為( )
A、0 B、1 C、2 D、3
分析：本題學(xué)生很容易去分母得
，然后解方程，不易實現(xiàn)目標。
事實上，只要利用數(shù)形結(jié)合的思想，分別畫出
的圖象，容易發(fā)現(xiàn)在第一象限沒有交點。故選A。
8、挖掘數(shù)據(jù)
例45、定義函數(shù)
，若存在常數(shù)C，對任意的
，存在唯一的
，使得
，則稱函數(shù)在D上的均值為C。已知
，則函數(shù)
上的均值為( )
A、
B、
C、
D、10
分析：
，從而對任意的
，存在唯一的
，使得
為常數(shù)。充分利用題中給出的常數(shù)10，100。令
,當時，
，由此得
故選A。
(二)選擇題的幾種特色運算
1、借助結(jié)論--速算
例29、棱長都為
的四面體的四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為( )
A、
B、
C、
D、
解析：借助立體幾何的兩個熟知的結(jié)論：(1)一個正方體可以內(nèi)接一個正四面體；(2)若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的對角線就是球的直徑�？梢钥焖偎愠銮虻陌霃�
，從而求出球的表面積為，故選A。
2、借用選項--驗算
例30、若
滿足
，則使得
的值最小的
是 (
)
A、(4.5，3) B、(3，6) C、(9，2) D、(6，4)
解析：把各選項分別代入條件驗算，易知B項滿足條件，且的值最小，故選B。
3、極限思想--不算
例31、正四棱錐相鄰側(cè)面所成的二面角的平面角為
，側(cè)面與底面所成的二面角的平面角為
，則
的值是 ( )
A、1 B、2 C、－1 D、
解析：當正四棱錐的高無限增大時，
，則
故選C。
4、平幾輔助--巧算
例32、在坐標平面內(nèi)，與點A(1，2)距離為1，且與點B(3，1)距離為2的直線共有 ( )
A、1條 B、2條 C、3條 D、4條
解析：選項暗示我們，只要判斷出直線的條數(shù)就行，無須具體求出直線方程。以A(1，2)為圓心，1為半徑作圓A，以B(3，1)為圓心，2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知，滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關(guān)系是相交，只有兩條公切線。故選B。
5、活用定義--活算
例33、若橢圓經(jīng)過原點，且焦點F1(1，0)，F(xiàn)2(3，0)，則其離心率為 ( )
A、 B、
C、
D、
解析：利用橢圓的定義可得
故離心率
故選C。
6、整體思想--設(shè)而不算
例34、若
，則
的值為 ( )
A、1 B、-1 C、0 D、2
解析：二項式中含有
，似乎增加了計算量和難度，但如果設(shè)
，
，則待求式子
。故選A。
7、
大膽取舍--估算
例35、如圖，在多面體ABCDFE中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為 (
)
A、
B、5 C、6 D、
解析：依題意可計算
，而
＝6，故選D。
8、發(fā)現(xiàn)隱含--少算
例36、
交于A、B兩點，且
，則直線AB的方程為 ( )
A、
B、
C、
D、
解析：解此題具有很大的迷惑性，注意題目隱含直線AB的方程就是
，它過定點(0，2)，只有C項滿足。故選C。
9、利用常識--避免計算
例37、我國儲蓄存款采取實名制并征收利息稅，利息稅由各銀行儲蓄點代扣代收。某人在2001年9月存入人民幣1萬元，存期一年，年利率為2.25%，到期時凈得本金和利息共計10180元，則利息稅的稅率是 ( )
A、8% B、20% C、32% D、80%
解析：生活常識告訴我們利息稅的稅率是20%。故選B。
(一)數(shù)學(xué)選擇題的解題方法
1、直接法：就是從題設(shè)條件出發(fā)，通過正確的運算、推理或判斷，直接得出結(jié)論再與選擇支對照，從而作出選擇的一種方法。運用此種方法解題需要扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
例1、某人射擊一次擊中目標的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有2次擊中目標的概率為 ( )
解析：某人每次射中的概率為0.6，3次射擊至少射中兩次屬獨立重復(fù)實驗。
故選A。
例2、有三個命題：①垂直于同一個平面的兩條直線平行；②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直。其中正確命題的個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：利用立幾中有關(guān)垂直的判定與性質(zhì)定理對上述三個命題作出判斷，易得都是正確的，故選D。
例3、已知F1、F2是橢圓
+
=1的兩焦點，經(jīng)點F2的的直線交橢圓于點A、B，若|AB|=5，則|AF1|+|BF1|等于( )
A．11 B．10 C．9 D．16
解析：由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8，兩式相加后將|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入，得|AF1|+|BF1|＝11，故選A。
例4、已知
在[0，1]上是
的減函數(shù)，則a的取值范圍是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
解析：∵a>0,∴y1=2-ax是減函數(shù)，∵ 在[0，1]上是減函數(shù)。
∴a>1，且2-a>0，∴1<a<2，故選B。
2、特例法：就是運用滿足題設(shè)條件的某些特殊數(shù)值、特殊位置、特殊關(guān)系、特殊圖形、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)等對各選擇支進行檢驗或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，由此判明選項真?zhèn)蔚姆椒āＳ锰乩ń膺x擇題時，特例取得愈簡單、愈特殊愈好。
(1)特殊值
例5、若sinα>tanα>cotα(
)，則α∈( )
A．(
，
) B．(，0) C．(0，
) D．(，
)
解析：因，取α=－
代入sinα>tanα>cotα，滿足條件式，則排除A、C、D，故選B。
例6、一個等差數(shù)列的前n項和為48，前2n項和為60，則它的前3n項和為( )
A．－24 B．84 C．72 D．36
解析：結(jié)論中不含n，故本題結(jié)論的正確性與n取值無關(guān)，可對n取特殊值，如n=1，此時a1=48,a2=S2－S1=12，a3=a1+2d= －24，所以前3n項和為36，故選D。
(2)特殊函數(shù)
例7、如果奇函數(shù)f(x) 是[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是( )
A.增函數(shù)且最小值為－5 B.減函數(shù)且最小值是－5
C.增函數(shù)且最大值為－5 D.減函數(shù)且最大值是－5
解析：構(gòu)造特殊函數(shù)f(x)=
x，雖然滿足題設(shè)條件，并易知f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是增函數(shù)，且最大值為f(-3)=-5，故選C。
例8、定義在R上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，設(shè)a+b≤0，給出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正確的不等式序號是( )
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
解析：取f(x)= －x，逐項檢查可知①④正確。故選B。
(3)特殊數(shù)列
例9、已知等差數(shù)列
滿足
，則有 ( )
A、
B、
C、
D、
解析：取滿足題意的特殊數(shù)列
，則，故選C。
(4)特殊位置
例10、過
的焦點
作直線交拋物線與
兩點，若
與
的長分別是
，則
( )
A、
B、
C、
D、 
解析：考慮特殊位置PQ⊥OP時，
，所以
，故選C。
例11、向高為
的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量
與水深
的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是 ( )
解析：取
，由圖象可知，此時注水量大于容器容積的，故選B。
(5)特殊點
例12、設(shè)函數(shù)
，則其反函數(shù)
的圖像是 ( )
A、 B、 C、 D、
解析：由函數(shù)，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，則特殊點(2,0)及(4,4)都應(yīng)在反函數(shù)f－1(x)的圖像上，觀察得A、C。又因反函數(shù)f－1(x)的定義域為
，故選C。
(6)特殊方程
例13、雙曲線b2x2－a2y2=a2b2
(a>b>0)的漸近線夾角為α，離心率為e,則cos
等于( )
A．e B．e2 C．
D．
解析：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關(guān)系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為
－
=1，易得離心率e=
,cos=
，故選C。
(7)特殊模型
例14、如果實數(shù)x,y滿足等式(x－2)2+y2=3，那么
的最大值是( )
A．
B．
C．
D．
解析：題中可寫成
。聯(lián)想數(shù)學(xué)模型：過兩點的直線的斜率公式k=
，可將問題看成圓(x－2)2+y2=3上的點與坐標原點O連線的斜率的最大值，即得D。
3、圖解法：就是利用函數(shù)圖像或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、求最值，求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來，利用直觀幾性，再輔以簡單計算，確定正確答案的方法。這種解法貫穿數(shù)形結(jié)合思想，每年高考均有很多選擇題(也有填空題、解答題)都可以用數(shù)形結(jié)合思想解決，既簡捷又迅速。
例15、已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，則( )
A．α<β B．sinα>sinβ
C．tanα>tanβ D．cotα<cotβ
解析：在第二象限角內(nèi)通過余弦函數(shù)線cosα>cosβ找出α、β的終邊位置關(guān)系，再作出判斷，得B。
例16、已知
、
均為單位向量，它們的夾角為60°，那么｜+3|= ( )
A．
B．
C．
D．4
解析：如圖，+3＝
，在
中，
由余弦定理得｜+3|=｜｜＝，故選C。
例17、已知{an}是等差數(shù)列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n項和Sn最小的n是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：等差數(shù)列的前n項和Sn=
n2+(a1-)n可表示
為過原點的拋物線，又本題中a1=-9<0, S3=S7,可表示如圖，
由圖可知，n=
,是拋物線的對稱軸，所以n=5是拋
物線的對稱軸，所以n=5時Sn最小，故選B。
4、驗證法：就是將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去驗證是否滿足題設(shè)條件，然后選擇符合題設(shè)條件的選擇支的一種方法。在運用驗證法解題時，若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大提高解題速度。
例18、計算機常用的十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字0-9和字母A-F共16個計數(shù)符號，這些符號與十進制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：
|
十六進制 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
十進制 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
例如：用十六進制表示E+D=1B，則A×B= ( )
A.6E B.72 C.5F D.BO
解析：采用代入檢驗法，A×B用十進制數(shù)表示為1×11=110,而
6E用十進制數(shù)表示為6×16+14=110；72用十進制數(shù)表示為7×16+2=114
5F用十進制數(shù)表示為5×16+15=105；B0用十進制數(shù)表示為11×16+0=176，故選A。
例19、方程
的解
( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)
解析：若
，則
，則
；若
，則
，則
；若
，則，則
；若
,則
，故選C。
5、篩選法(也叫排除法、淘汰法)：就是充分運用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個正確選擇支這一信息，從選擇支入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系，通過分析、推理、計算、判斷，對選擇支進行篩選，將其中與題設(shè)相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結(jié)論的方法。使用篩選法的前提是“答案唯一”，即四個選項中有且只有一個答案正確。
例20、若x為三角形中的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx的值域是( )
A．(1，
B．(0，
C．[，
] D．(，
解析：因為三角形中的最小內(nèi)角，故
，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故應(yīng)選A。
例21、原市話資費為每3分鐘0.18元，現(xiàn)調(diào)整為前3分鐘資費為0.22元，超過3分鐘的，每分鐘按0.11元計算，與調(diào)整前相比，一次通話提價的百分率( )
A．不會提高70% B．會高于70%，但不會高于90%
C．不會低于10% D．高于30%，但低于100%
解析：取x＝4，y＝·100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ·100%≈77.2%，排除A，故選B。
例22、給定四條曲線：①
，②
，③
，④
,其中與直線
僅有一個交點的曲線是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
解析：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線是相交的，因為直線上的點
在橢圓內(nèi)，對照選項故選D。
6、分析法：就是對有關(guān)概念進行全面、正確、深刻的理解或?qū)τ嘘P(guān)信息提取、分析和加工后而作出判斷和選擇的方法。
(1)特征分析法--根據(jù)題目所提供的信息，如數(shù)值特征、結(jié)構(gòu)特征、位置特征等，進行快速推理，迅速作出判斷的方法，稱為特征分析法。
例23、如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線
表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時
間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳送信
息，信息可以分開沿不同的路線同時傳送，則單位時間內(nèi)
傳遞的最大信息量為( )
A．26 B．24 C．20 D．19
解析：題設(shè)中數(shù)字所標最大通信量是限制條件，每一支要以最小值來計算，否則無法同時傳送，則總數(shù)為3+4+6+6=19，故選D。
例24、設(shè)球的半徑為R, P、Q是球面上北緯600圈上的兩點，這兩點在緯度圈上的劣弧的長是
，則這兩點的球面距離是 ( )
A、
B、
C、
D、
解析：因緯線弧長＞球面距離＞直線距離，排除A、B、D，故選C。
例25、已知
，則
等于 ( )
A、
B、
C、
D、
解析：由于受條件sin2θ+cos2θ=1的制約，故m為一確定的值，于是sinθ,cosθ的值應(yīng)與m的值無關(guān)，進而推知tan
的值與m無關(guān)，又
<θ<π，
<<,∴tan>1，故選D。
(2)邏輯分析法--通過對四個選擇支之間的邏輯關(guān)系的分析，達到否定謬誤支，選出正確支的方法，稱為邏輯分析法。
例26、設(shè)a,b是滿足ab<0的實數(shù)，那么 ( )
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b| C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
解析：∵A，B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B為真，故選B。
例27、
的三邊
滿足等式
，則此三角形必是()
A、以為斜邊的直角三角形 B、以
為斜邊的直角三角形
C、等邊三角形 D、其它三角形
解析：在題設(shè)條件中的等式是關(guān)于
與
的對稱式，因此選項在A、B為等價命題都被淘汰，若選項C正確，則有
，即
，從而C被淘汰，故選D。
7、估算法：就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，求出答案的近似值，或把有關(guān)數(shù)值擴大或縮小，從而對運算結(jié)果確定出一個范圍或作出一個估計，進而作出判斷的方法。
例28、農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。03年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資源共享性收入為1800元，其它收入為1350元)，預(yù)計該地區(qū)自04年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資源共享性收入將以每年的年增長率增長，其它性收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，08年該地區(qū)人均收入介于 ( )
(A)4200元~4400元 (B)4400元~4460元
(C)4460元~4800元 (D)4800元~5000元
解析：08年農(nóng)民工次性人均收入為：
又08年農(nóng)民其它人均收入為1350+160
=2150
故08年農(nóng)民人均總收入約為2405+2150=4555(元)。故選B。
說明：1、解選擇題的方法很多，上面僅列舉了幾種常用的方法，這里由于限于篇幅，其它方法不再一一舉例。需要指出的是對于有些題在解的過程中可以把上面的多種方法結(jié)合起來進行解題，會使題目求解過程簡單化。
2、對于選擇題一定要小題小做，小題巧做，切忌小題大做�！安粨袷侄危嗫旌檬 笔墙膺x擇題的基本宗旨。
數(shù)學(xué)選擇題在當今高考試卷中，不但題目多，而且占分比例高，即使今年江蘇試題的題量發(fā)生了一些變化，選擇題由原來的12題改為10題，但其分值仍占到試卷總分的三分之一。數(shù)學(xué)選擇題具有概括性強，知識覆蓋面廣，小巧靈活，且有一定的綜合性和深度等特點，考生能否迅速、準確、全面、簡捷地解好選擇題，成為高考成功的關(guān)鍵。
解答選擇題的基本策略是準確、迅速。準確是解答選擇題的先決條件，選擇題不設(shè)中間分，一步失誤，造成錯選，全題無分，所以應(yīng)仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏，確保準確；迅速是贏得時間獲取高分的必要條件，對于選擇題的答題時間，應(yīng)該控制在不超過40分鐘左右，速度越快越好，高考要求每道選擇題在1-3分鐘內(nèi)解完，要避免“超時失分”現(xiàn)象的發(fā)生。
高考中的數(shù)學(xué)選擇題一般是容易題或中檔題，個別題屬于較難題，當中的大多數(shù)題的解答可用特殊的方法快速選擇。解選擇題的基本思想是既要看到各類常規(guī)題的解題思想，但更應(yīng)看到選擇題的特殊性，數(shù)學(xué)選擇題的四個選擇支中有且僅有一個是正確的，因而，在解答時應(yīng)該突出一個“選”字，盡量減少書寫解題過程，要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息，依據(jù)題目的具體特點，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速智取，這是解選擇題的基本策略。
12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法)
1).恒成立問題
若不等式
在區(qū)間
上恒成立,則等價于在區(qū)間上
若不等式
在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上
如(1)設(shè)實數(shù)
滿足
，當
時，
的取值范圍是______(答：
)；(2)不等式
對一切實數(shù)
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍_____(答：
)；(3)若不等式
對滿足
的所有
都成立，則
的取值范圍_____(答：(
,
))；(4)若不等式
對于任意正整數(shù)
恒成立，則實數(shù)
的取值范圍是_____(答：
)；(5)若不等式
對
的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.(答：
)
2). 能成立問題
若在區(qū)間上存在實數(shù)
使不等式成立,則等價于在區(qū)間上
；
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的
.
如已知不等式
在實數(shù)集
上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍______(答：
)
3). 恰成立問題
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.
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