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7．(2006年湖南卷)曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是　　　　 .

6．若函數y=x³－x²－a在[－1,1]上有最大值3，則該函數在[－1,1]上的最小值是　　　 .

5．(2006年江西卷)對于R上可導的任意函數f(x)，若滿足,則必有(　 )

A．f(0)+f(2)<2f(1)　 B. f(0)+f(2)£2f(1)

C.　 f(0)+f(2)³2f(1)　 D. f(0)+f(2)>2f(1)

4．(2007年山東泰安)已知a>0且a≠1, f(x)＝x²－a，當x∈(－1,1)時，f(x)<恒成立，則實數a的取值范圍是(　　　 )

A．　　　　　 B．　 C．　　 D．

3．(2007年廣東佛山)設是函數的導函數,的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是(　　)

2．函數y=2x³-3x²-12x+5在[0,3]上的最大值與最小值分別是(　 )

　A .5 , －15　 　　　B.5 , 4 　　　　C. 5 ,－16　 　　D. －4 ,－15

1．( 2006年湖南卷)設函數,集合M=,P=,若MP,則實數a的取值范圍是 (　 　　)

A.(-∞,1)　 B.(0,1)　　 C.(1,+∞)　　 D. [1,+∞)

6．(2007年山東萊山一中)設是定義在上的奇函數，且函數與的圖象關于直線對稱，當時，為常數)

　 (1)求的解析式；

　 (2)若對區(qū)間，上的每個值，恒有成立，求的取值范圍。

[能力提升]

5．已知函數，方程的一個根是6，

(1)若直線與函數和的圖象的交點分別為，試求當取何值時，線段的長度取得最大值；

(2)函數的圖象在點處的切線為，在點處的切線為，若、與軸的交點分別為，試求兩點之間的距離的取值范圍。

例6．已知函數，

(1)函數的單調區(qū)間；

(2)求函數圖象在與軸交點得的切線與兩坐標軸所圍成的圖形的面積；

(3)判斷方程解的情況().

［剖析］求函數的單調區(qū)間一般可以利用函數的導數來解決，即轉化解不等式和；不等式的解集即為函數的單調區(qū)間，但首先要研究函數的定義域；求曲線在某一點的切線可以利用導數的幾何意義；要研究方程根的個數問題，則可以通過函數圖象與軸交點的數來分析，要畫出函數大致圖象，應函數的單調性、函數的極值及函數經過的特殊點等多個方面來考查.

［解］(1),因為函數的定義域為,令,解得:;令,解得且,所以函數的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.

(2)與軸的交點設為,則,由于,切線的斜率為.切線方程為.

令,得,令,得.

所以所圍三角形的面積為.

(3)方程等價于,在平面直角坐標系中畫出函數的圖象,如右圖所示:

所以當時,方程有2個根;當時,方程有1個根;當時,方程沒有根;當時,方程有1個根.

［警示］在近年的高考試題中，導數越來越成為一個考查熱點，由于導數本身具有強大的工具作用，導數的單調性、極值、最值的研究，曲線切線問題的解決，不等式的證明、恒成立問題以方程根的討論等問題中都具有著重要的作。以導數為載體的綜合題已經成為了高考命題的風向標。利用導數不僅能夠判斷函數的單調性,研究函數的極值與最值情況,而且還能在此基礎上畫出函數的大致圖象,得到函數圖象與軸交點的或兩個函數的交點的條件,從而為研究方程的根及函數的零點提供方便,所以在解決方程的根的問題中,要善于運用導數的方法進行求解.

［變式訓練］

4．已知函數

(1)若，求證：；

(2)是否存在實數，使得方程有四個不同的實數根？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由。

例5．(2007山東省樣題)已知函數

(Ⅰ)若，且存在單調遞減區(qū)間，求的取值范圍；

(Ⅱ)設函數的圖象C₁與函數圖象C₁交于點P、Q，過線段PQ的中點作軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，證明C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

［剖析］利用導數的幾何意義，函數在某一點處的導數值，就是函數圖象在該點處的切線的斜率，求得切線的斜率后，再通過比較其在C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線的斜率不相等，來證明該題。

［解］(I)，則

因為函數存在單調遞減區(qū)間，所以有解.

又因為時，則有的解.

①當時，為開口向上的拋物線，總有的解；

②當時，為開口向下的拋物線，而總有的解；

則,且方程至少有一正根.此時，

　 綜上所述，的取值范圍為.

(II)證法一　 設點P、Q的坐標分別是，，，

　則點M、N的橫坐標為 在C₁點M處的切線斜率為

　在C₂點N處的切線斜率為

　假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則， 即，則

=

所以　 設則　　　　 ①

令，則

因為時，，所以在上單調遞增. 故

則. 這與①矛盾，假設不成立.

故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

證法二：同證法一得

因為，所以，令，得　 ②

令

因為，所以時，，故在上單調遞增.從而，即，于是在上單調遞增.

故即這與②矛盾，假設不成立.

故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

［警示］利用導數求曲線的切線問題，幾乎是每年必考的內容，這類問題，即有可能出現在選擇題與填空題中，也有可能出現在解答題中。在這類問題中，導數所擔負的任務是求出其切線的斜率，綜合考察導數在解決函數單調性，函數曲線的切線等問題中的作用．

［變式訓練］