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3. 求證:在區(qū)間上,函數(shù)的圖象總在函數(shù)的下方.

例4．設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)

(1)求的極值;

(2)當(dāng)為何值時,函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)?

［剖析］函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由此可以通過分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的圖象特征進(jìn)行求解.

［解］(1)令，得.又因?yàn)?sub>時，；

時，；，，所以的極小值為；

的極大值為.

(2)因?yàn)?sub>在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，；又在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，；而，即函數(shù)的極大值大于極小值，所以當(dāng)極大值大于或等于零時，有極小值小于或等于0，此時曲線與軸恰好有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，所以；當(dāng)極小值等于0時有極大值大于0，此時曲線與曲線與軸也恰好有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，所以。

綜上所述知，當(dāng)時，函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)。

［警示］研究函數(shù)的零點(diǎn)的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)圖象問題.一般地,函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).方程的根就是函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

［變式訓(xùn)練］

2. (2006年湖北卷)設(shè)是函數(shù)的一個極值點(diǎn).

(Ⅰ)求與的關(guān)系式(用表示)，并求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.

例3．將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,求證:當(dāng)時,.

［剖析］先求出函數(shù)的解析式,然后構(gòu)造函數(shù)借助函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

［解］將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù).

令,則,

因?yàn)?sub>,所以,即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),于是有,即,因此有當(dāng)時,.

［警示］利用導(dǎo)數(shù)證明不等式也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個重要方面,這類問題一般需要根據(jù)欲證的不等式構(gòu)造一個新函數(shù),然后通過考查這個新函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合給定區(qū)間和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行證明.

［變式訓(xùn)練］

1. (1)已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)．若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍．

　(2) (2005年重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8，其中aÎR.若f(x)在(-¥,0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍。

例2．(2005年北京卷) 已知函數(shù)

若在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20.

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對于,總存在,都有成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.

［剖析］對于第(2)小題,可先由(1)求出函數(shù)在[－2，2].上的值域,則問題就轉(zhuǎn)化為:是否存在實(shí)數(shù),使在[－2，2].上的值域是函數(shù)在區(qū)間上的值域的子集,這樣利用導(dǎo)數(shù)分別求出這兩個函數(shù)的值域,建立關(guān)于的不等式組即可求解.

［解］(1)令,解得或

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為遞增區(qū)間是.

又因?yàn)?sub>,

所以

因?yàn)樵?sub>上,所以在單調(diào)遞增,

又由于在上單調(diào)遞減,因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值.于是有,解得

(2)由(1)知因此

即函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)閇,20]

,由于,所以當(dāng)時,,因此當(dāng)時,為減函數(shù),從而當(dāng)時,.

又因?yàn)?sub>,即當(dāng)時

若對于,總存在,都有,則應(yīng)有,即,解得:

但由于,故不存在這樣的實(shí)數(shù).

［警示］本題屬于探索性的題目,其一般的解法思路是先假設(shè)符合條件的參數(shù)存在,然后綜合考慮題目的各個條件,若各個條件之間不矛盾,則參數(shù)存在,若條件之間存在矛盾,則參數(shù)不存在.如本題的第(2)問,要特別注意的取值范圍首先應(yīng)滿足前提條件,如果忽視這一條件,將得出錯誤的結(jié)論.

［變式訓(xùn)練］

6．設(shè)有長為a，寬為b的矩形，其底邊在半徑為R的半圓的直徑所在的直線上，另兩個頂點(diǎn)正好在半圓的圓周上，則此矩形的周長最大時，=　　　 .

[典例精析]

例1．若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

［剖析］函數(shù)存大單調(diào)區(qū)間,就是不等式有實(shí)數(shù)解,考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?sub>,所以本題就是要求在上有實(shí)數(shù)解.

［解］.因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以有解.又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?sub>,則應(yīng)有的解.

(1)當(dāng)時,為開口向上的拋物線,,總可以找到的解;

(2)當(dāng)時,為開口向下的拋物線,要使總有大于0的解,則且方程至少有一個正根,此時.

(3)當(dāng)時,顯然符合題意.

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.

［警示］一般地涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題,往往可以借助于導(dǎo)數(shù)這一工具進(jìn)行求解.函數(shù)的定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間,就是不等式或在其定義域內(nèi)有解,這樣就將問題轉(zhuǎn)化為了求解不等式的問題.本題在解答時,很容易忽視函數(shù)定義域這一限制條件,即在解答時,只是要求不等式有解,而不是在內(nèi)有解,從而導(dǎo)致錯誤.在研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)時,一定要注意優(yōu)先考慮定義域.

［變式訓(xùn)練］：

5．若f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是_________

4．(2006年天津卷)函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)(　 )

A．1個　 B．2個　　 C．3個　　 D． 4個

3．=0是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x₀處有極值的 (　　 )

(A)充分不必要條件　 (B)必要不充分條件　

(C)充要條件　　 　　(D)非充分非必要條件

2．設(shè)y=x-lnx，則此函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為(　)

　A．單調(diào)遞增B、有增有減　 C、單調(diào)遞減　 D、不確定

1．關(guān)于的函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)有　　　　　 (　　 )

　　　 A．2個　　　　　 　 B．1個　 　　　　C．0個　　　　　　 D．由確定

4．函數(shù)的最大值與最小值

在閉區(qū)間上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上求最大值與最小值的步驟是：

(1)　　　　　　；(2)　　　　　　　　　　　。

［特別提醒］

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不要包括以下幾個方面:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值與最值;(3)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題;(4)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的證明問題;(5)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn);(6)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍等.

在復(fù)習(xí)的過程中,應(yīng)注意總結(jié)規(guī)律,一般來說,利用導(dǎo)數(shù)解決的問題,其所涉及的函數(shù)往往具有明顯的特征,例如:三次函數(shù)等高次函數(shù),非常規(guī)函數(shù)(由基本初等函數(shù)構(gòu)成)等,這些函數(shù)尤其適合利用導(dǎo)數(shù)解決.再如：①f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)＞0,則f(x)是增函數(shù)；若f′(x)＜0,則f(x)是減函數(shù).②求函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)先求導(dǎo)，然后令y′=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)，例如：y=x³,當(dāng)x=0時，導(dǎo)數(shù)是0，但非極值點(diǎn))，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，取決于這個點(diǎn)左、右兩邊的增減性，即兩邊的y′的符號，若改變符號，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)；若不改變符號，則非極值點(diǎn)，一個函數(shù)的極值點(diǎn)不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)處取得，但可得函數(shù)的極值點(diǎn)一定導(dǎo)數(shù)為0.③可導(dǎo)函數(shù)的最值可通過(a,b)內(nèi)的極值和端點(diǎn)的函數(shù)值比較求得等等。

　 另外,在復(fù)習(xí)過程中,要注意等價轉(zhuǎn)化,分類討論,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練,在解決導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中,這些思想方法始終貫穿于其中,是正確解決問題的關(guān)鍵.

[基礎(chǔ)闖關(guān)]