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5．設(shè)a＞0，f(x)=ax²+bx+c，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x₀，f(x₀))處切線的傾斜角的取值范圍為［0，］，則P到曲線y=f(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為

A.［0，］　　　　 B.［0，］　　　　　　　 C.［0，||］　　　　　　 D.［0，||］

4．曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是　　　　　　 (　　 )

　　 　 　　　 　　　　　　 　　 　　0

2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是　 (　　 　)

3．,分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí),，且，則不等式的解集是(　　 ).

A．(－3，0)∪(3，+∞)　　　　　　　　 B．(－3，0)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，+∞)　　　　　　　 D．(－∞，－3)∪(0，3)

1．如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t³運(yùn)動(dòng)，則在t=3 s時(shí)的瞬時(shí)加速度為

A.6　　　　　　 　　　　 B.18　　　　　　　　 C.24　　　　　　 　　　　 D.32

6．已知，函數(shù)。設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。

(1)求的方程；

(2)設(shè)與軸交點(diǎn)為。

證明：①；

②若，則

[能力提升]

5．已知拋物線，過(guò)其上一點(diǎn)引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形面積最小，求切線的方程.

例6．已知拋物線或，如果直線同時(shí)是和的切線，則稱是和的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段。

(1)取什么值時(shí)和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

(2)若和有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。

［剖析］分別求曲線和的切線方程，由于和有且僅有一條公切線，從而列出方程組，求解的取值，進(jìn)行得到公切線方程；而對(duì)于證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分的問(wèn)題，只需要證明這兩條切線的中點(diǎn)是同一點(diǎn)即可.

［解］(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即　　　 ①

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

，即　　　 ②

如果直線是過(guò)點(diǎn)和的公切線，則①②都是直線的方程，從而有

消去得方程，由，得.

此時(shí)，即點(diǎn)和重合.故當(dāng)時(shí)，和有且僅有一條公切線，此公切線方程為.

(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，和有兩條公切線.設(shè)其中的一條公切線在和上的切點(diǎn)分別為，

則

即公切線段的中點(diǎn)是

同理可證，另一條公切線段的中點(diǎn)也是，所以公切線段和相互平分。

［警示］可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程，可按如下方式求得：

第一，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率；

第二，在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程；

如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線的定義可知，切線的方程為.

［變式訓(xùn)練］

4．已知曲線C：y=x³－3x²+2x，直線l：y=kx，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)(x₀，y₀)(x₀≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

例5．在曲線y=x³－x上有兩個(gè)點(diǎn)O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上點(diǎn)P的坐標(biāo)，使△AOP的面積最大.

［剖析］本題主要考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.由于|OA|是定值,所以若將點(diǎn)P的位置轉(zhuǎn)化到與曲線y=x³－x相切且與OA平行的位置，此時(shí)點(diǎn)P到|OA|的距離最大;也可設(shè)點(diǎn)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)求最值.

［解］解法一:因?yàn)?i>k_OA=3，所以過(guò)弧OA上點(diǎn)P的直線的斜率k′=k_OA=3.　　　　　　　　

所以k′=y′=3x²－1=3.所以3x²=4. 所以x=或x=－ (舍去).　　

　　　 所以x=,y=，即P(，).　　

解法二:設(shè)P(a,a³－a),∵O(0,0)、A(2,6),∴直線OA的方程為3x－y=0.

點(diǎn)P到它的距離為d==|a³－4a|,

∵0＜a＜2,∴4a＞a³.∴d= (4a－a³).

∵(d)′= (4－3a²),令4－3a²=0,得a=或a=－.

∵0＜a＜2,∴x=a=時(shí)取最大值，此時(shí)y=()³－=.

∴P(，).

［警示］利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，幾乎是新課程高考每年必考的內(nèi)容，既有可能出現(xiàn)在選擇、填空題中，也有可能出現(xiàn)在解答題中. 在這類問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)所擔(dān)負(fù)的任務(wù)是求出其切線的斜率，這類問(wèn)題的核心部分是考查函數(shù)的思想方法與解析幾何的基本思想。

［變式訓(xùn)練］

3．設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值。

例4．已知曲線.

(1)　　 求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程。

［剖析］“該曲線過(guò)點(diǎn)的切線”與“該曲線在點(diǎn)處的切線方程”是有區(qū)別的：過(guò)點(diǎn)的切線中，點(diǎn)不一定是切點(diǎn)；在點(diǎn)處的切線中，點(diǎn)是切點(diǎn)。

［解］(1)所求切線的斜率為，故所求的曲線的切線方程為即

(2)設(shè)曲線與過(guò)點(diǎn)的切線相切于點(diǎn)，則切線的斜率為，切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，解得或，故所求的切線的方程為：或

［警示］(1)求函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線方程的關(guān)鍵在于確定該點(diǎn)切線處的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，故當(dāng)存在時(shí)，切線方程為求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)的切線”與“點(diǎn)處的切線”的差異.過(guò)點(diǎn)的切線中，點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)也不一定在已知曲線上；點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)。

(2)要準(zhǔn)確理解曲線切線的概念，①如直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，一方面，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)　　 直線是曲線的切線，例如：拋物線的對(duì)稱軸與其拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，但對(duì)稱軸不是拋物線的切線；另一方面，直線是曲線的切線　　 直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，例如本題中曲線與其切線有兩個(gè)公共點(diǎn)，又如曲線與其切線有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)!②曲線未必在其切線的“同側(cè)”，例如直線雖然“穿過(guò)”曲線，但它卻是曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線。

(3)要深入體會(huì)切線定義中的運(yùn)動(dòng)變化思想：①兩個(gè)不同的公共點(diǎn)兩公共點(diǎn)無(wú)限接近兩公共點(diǎn)重合(切點(diǎn))；②割線切線。

［變式訓(xùn)練］

2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)；(2)；(3)；　　　　　　　 (4)；　　　　　 (5)；　　　　　 (6)

例3．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，求的值。

［剖析］可先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)條件建立關(guān)于的方程進(jìn)行求解.

［解］由于 ，所以，又，

依題意得，即，，得。

［警示］ 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的前提，因步應(yīng)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式，近幾年的高考試題中，對(duì)于等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的考查較為頻繁，因此應(yīng)掌握與這兩個(gè)函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.

［變式訓(xùn)練］

1．(1)已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，求；

(2)設(shè)求的值。

例2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)　　 (2)　　 (3)

(4)　　　　 (5)　　　 (6)

［剖析］本題不要考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算，助借于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式及常見(jiàn)的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以容易求得。

［解］(1) 解法一：，

解法二：

(2)

(3) ，

(4)

(5) .

(6)

［警示］復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程就是對(duì)復(fù)合函數(shù)由外層逐層向里求層.每次求導(dǎo)都針對(duì)最外層，直到求到最里層為止.所謂最里層是指已經(jīng)可以直接引用基本導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)的.

(2)求導(dǎo)時(shí)，先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)是運(yùn)算的基本方法，這樣可以減少計(jì)算量.一般說(shuō)來(lái)，分式函數(shù)求導(dǎo)，要先觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可否化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，可先化為和、差的形式；三角函數(shù)的求導(dǎo)，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式.

［變式訓(xùn)練］