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17．(本小題滿分12分)過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，若l₁交x軸于A點(diǎn)，l₂交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)，

連結(jié)PM，

∵l₁⊥l₂，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=，

|AB|=,

∴2.

化簡，得x+2y-5=0即為所求的軌跡方程．

16．(本小題滿分12分)已知：圓C：x²+y²－8y+12＝0，直線l：ax+y+2a＝0.

(1)當(dāng)a為何值時，直線l與圓C相切；

(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且AB＝2時，求直線l的方程．

解：將圓C的方程x²+y²－8y+12＝0配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+(y－4)²＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2.

(1)若直線l與圓C相切，則有＝2.

解得a＝－.

(2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，

得

解得a＝－7，或a＝－1.

故所求直線方程為7x－y+14＝0或x－y+2＝0.

15．過拋物線y²＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C，若＝，·＝48，則拋物線的方程為______________．

解析：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D，依題意，F為線段AB的中點(diǎn)，

故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，

|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，

∴∠ABC＝30°，||＝2p，

·＝4p·2p·cos30°＝48，

解得p＝2，

∴拋物線的方程為y²＝4x.

答案：y²＝4x

14．直線l的方程為y＝x+3，在l上任取一點(diǎn)P，若過點(diǎn)P且以雙曲線12x²－4y²＝3的焦點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)作橢圓，那么具有最短長軸的橢圓方程為______________．

解析：所求橢圓的焦點(diǎn)為F₁(－1,0)，F₂(1,0),2a＝|PF₁|+|PF₂|.欲使2a最小，只需在直線l上找一點(diǎn)P，使|PF₁|+|PF₂|最小，利用對稱性可解．

答案：+＝1

13．(2009·福建高考)過拋物線y²＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則p＝________.

解析：由焦點(diǎn)弦|AB|＝得|AB|＝，

∴2p＝|AB|×，∴p＝2.

答案：2

12．已知點(diǎn)(x₀，y₀)在直線ax+by＝0(a，b為常數(shù))上，則的最小值為________．

解析：可看作點(diǎn)(x₀，y₀)與點(diǎn)(a，b)的距離．而點(diǎn)(x₀，y₀)在直線ax+by＝0上，所以的最小值為點(diǎn)(a，b)到直線ax+by＝0的距離＝.

答案：

11．若雙曲線－y²＝1的一個焦點(diǎn)為(2,0)，則它的離心率為________．

解析：由a²+1＝4，∴a＝，

∴e＝＝.

答案：

10．(2009·天津高考)設(shè)拋物線y²＝2x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(，0)的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，|BF|＝2，則△BCF與△ACF的面積之比＝　　　　　　　　　　　　　　

(　)

A. 　　　　　　　B.　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　D.

解析：如圖過A、B作準(zhǔn)線l：x=-的垂線，垂足分別為A₁，B₁，

由于F到直線AB的距離為定值．

∴＝.

又∵△B₁BC∽△A₁AC.

∴＝，

由拋物線定義＝＝.

由|BF|＝|BB₁|＝2知x_B＝，y_B＝－，

∴AB：y－0＝(x－)．

把x＝代入上式，求得y_A＝2，x_A＝2，

∴|AF|＝|AA₁|＝.

故＝＝＝.

答案：A

第Ⅱ卷　(非選擇題，共100分)

9．(2009·四川高考)已知雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y₀)在該雙曲線上，則·＝　　　　　　　　　　 (　)

A．－12　 　　　　　　　B．－2　　　　　　　 C．0　　　　 　D．4

解析：由漸近線方程y＝x得b＝，

點(diǎn)P(，y₀)代入－＝1中得y₀＝±1.

不妨設(shè)P(，1)，∵F₁(2,0)，F₂(－2,0)，

∴·＝(2－，－1)·(－2－，－1)

＝3－4+1＝0.

答案：C

8．(2009·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1的漸近線與圓(x－3)²+y²＝r²(r>0)相切，則r＝(　)

A.　 　　　　　　B．2　　　　　 　C．3 　　　　　　　D．6

解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x即x±y＝0，圓心(3,0)到直線的距離d＝＝.

答案：A