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6．已知實數(shù)a，b，則“ab≥2”是“a²+b²≥4”的　　　　　　　　　　　　 　(　)

A．充分不必要條件　　　　　 　B．必要不充分條件

C．充要條件 　　　　　　　　　D．既不充分也不必要條件

解析：當ab≥2時，a²+b²≥2ab≥4，故充分性成立，而a²+b²≥4時，當a＝－1，b＝3時成立，但ab＝－3＜2，顯然ab≥2不成立，故必要性不成立．

答案：A

5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：

①“若a，b∈R，則a－b＝0⇒a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a+bi＝c+di⇒a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a+b＝c+d⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，則a－b＞0⇒a＞b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0⇒a＞b”．

其中類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　B．1 　　　　　　C．2 　　　　　　　　D．3

解析：①②是正確的，③是錯誤的，因為復(fù)數(shù)不能比較大小，如a＝5+6i，b＝4+6i，雖然滿足a－b＝1＞0，但復(fù)數(shù)a與b不能比較大�。�

答案：C

4．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝{x|＜0}，則A∩B是　　　　　　　　　 (　)

A．{x|－1＜x＜－或2＜x＜3}　　　　 B．{x|2＜x＜3}

C．{x|－＜x＜2}　　　　　　　　　 　D．{x|－1＜x＜－}

解析：∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3.∴－1＜x＜2.

又∵＜0，∴(2x+1)(x－3)＞0，

∴x＞3或x＜－.∴A∩B＝{x|－1＜x＜－}．

答案：D

3．已知函數(shù)f(x)＝，若f(x)≥1，則x的取值范圍是　　　　　　 (　)

A．(－∞，－1]　 　　　　　　　B．[1，+∞)

C．(－∞，0]∪[1，+∞) 　　　　D．(－∞，－1]∪[1，+∞)

解析：將原不等式轉(zhuǎn)化為：或，從而得x≥1或x≤－1.

答案：D

2．下列命題中的真命題是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd　 　　　B．若|a|＞b，則a²＞b²

C．若a＞b，則a²＞b²　 　　　　　　D．若a＞|b|，則a²＞b²

解析：由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a²＞b².

答案：D

1．不等式(x+1)≥0的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．{x|x＞1}　　　　B．{x|x≥1}

C．{x|x≥1或x＝－1} 　　　D．{x|x≥－1或x＝1}

解析：∵≥0，∴x≥1.

同時x+1≥0，即x≥－1.∴x≥1.

答案：B

21． (本小題滿分14分)設(shè)橢圓ax²+by²＝1與直線x+y－1＝0相交于A、B兩點，點C是AB的中點，若|AB|＝2，OC的斜率為，求橢圓的方程．

解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，那么A、B的坐標是方程組的解．

由ax+by＝1，ax+by＝1，兩式相減，得

a(x₁+x₂)(x₁－x₂)+b(y₁+y₂)(y₁－y₂)＝0，

因為＝－1，

所以＝，

即＝，＝＝，所以b＝a.　　　　　　　　　　　　　　 ①

再由方程組消去y得(a+b)x²－2bx+b－1＝0，

由|AB|＝＝

＝＝2，

得(x₁+x₂)²－4x₁x₂＝4，即()²－4·＝4.　　　　　　　　　 ②

由①②解得a＝，b＝，

故所求的橢圓的方程為+＝1.

20．(本小題滿分13分)已知A、B、D三點不在一條直線上，且A(－2,0)，B(2,0)，||＝2，＝(+)．

(1)求E點的軌跡方程；

(2)過A作直線交以A、B為焦點的橢圓于M，N兩點，線段MN的中點到y軸的距離為，且直線MN與E點的軌跡相切，求橢圓的方程．

解：(1)設(shè)E(x，y)，由＝(+)，可知E為線段BD的中點，

又因為坐標原點O為線段AB的中點，

所以OE是△ABD的中位線，

所以||＝||＝1，

所以E點在以O為圓心，1為半徑的圓上，

又因為A，B，D三點不在一條直線上，

所以E點不能在x軸上，

所以E點的軌跡方程是x²+y²＝1(y≠0)．

(2)設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，中點為(x₀，y₀)，橢圓的方程為+＝1，直線MN的方程為y＝k(x+2)(當直線斜率不存在時不成立)，

由于直線MN與圓x²+y²＝1(y≠0)相切，

所以＝1，解得k＝±，

所以直線MN的方程為y＝±(x+2)，

將直線y＝±(x+2)代入方程+＝1，

整理可得：4(a²－3)x²+4a²x+16a²－3a⁴＝0，

所以x₀＝＝－.

又線段MN的中點到y軸的距離為，

即x₀＝－＝－，解得a＝2.

故所求的橢圓方程為+＝1.

19．(本小題滿分12分)已知圓(x－2)²+(y－1)²＝，橢圓b²x²+a²y²＝a²b²(a>b>0)的離心率為，若圓與橢圓相交于A、B，且線段AB是圓的直徑，求橢圓的方程．

解：∵e＝＝＝，∴a²＝2b².

因此，所求橢圓的方程為x²+2y²＝2b²，

又∵AB為直徑，(2,1)為圓心，即(2,1)是線段AB的中點，

設(shè)A(2－m,1－n)，B(2+m,1+n)，則

⇒

⇒得2b²＝16.

故所求橢圓的方程為x²+2y²＝16.

18．(本小題滿分12分)(2010·南通模擬)已知動圓過定點F(0,2)，且與定直線L：y＝－2相切．

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)若AB是軌跡C的動弦，且AB過F(0,2)，分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點為Q，證明：AQ⊥BQ.

解：(1)依題意，圓心的軌跡是以F(0,2)為焦點，L：y＝－2為準線的拋物線．

因為拋物線焦點到準線距離等于4，

所以圓心的軌跡是x²＝8y.

(2)證明：因為直線AB與x軸不垂直，

設(shè)AB：y＝kx+2.

A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由

可得x²－8kx－16＝0，x₁+x₂＝8k，x₁x₂＝－16.

拋物線方程為y＝x²，求導(dǎo)得y′＝x.

所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是k₁＝x₁，k₂＝x₂，k₁k₂＝x₁·x₂＝x₁·x₂＝－1.

所以AQ⊥BQ.