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18.已知函數f(x)＝ax+(x≠0，常數a∈R).

(1)討論函數f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數f(x)在x∈[3，+∞)上為增函數，求a的取值范圍.

解：(1)定義域(－∞，0)∪(0，+∞)，關于原點對稱.

當a＝0時，f(x)＝，滿足對定義域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴a＝0時，f(x)是偶函數；

當a≠0時，f(1)＝a+1，f(－1)＝1－a，

若f(x)為偶函數，則a+1＝1－a，a＝0矛盾；

若f(x)為奇函數，

則1－a＝－(a+1),1＝－1矛盾，∴當a≠0時，f(x)是非奇非偶函數.

(2)任取x₁>x₂≥3，f(x₁)－f(x₂)＝ax₁+－ax₂－

＝a(x₁－x₂)+＝(x₁－x₂)(a－).

∵x₁－x₂>0，f(x)在[3，+∞)上為增函數，

∴a>，即a>+在[3，+∞)上恒成立.

∵+<，

∴a≥.

17.已知函數f(x)＝x⁴－4x³+ax²－1在區(qū)間[0,1]上單調遞增，在區(qū)間[1,2]上單調遞減.

(1)求a的值；

(2)記g(x)＝bx²－1，若方程f(x)＝g(x)的解集恰有3個元素，求b的取值范圍.

解：(1)f′(x)＝4x³－12x²+2ax，因為f(x)在[0,1]上遞增，在[1,2]上遞減，所以x＝1是f(x)的極值點，所以f′(1)＝0，

即4×1³－12×1²+2a×1＝0.

解得a＝4，經檢驗滿足題意，所以a＝4.

(2)由f(x)＝g(x)可得

x²(x²－4x+4－b)＝0，

由題意知此方程有三個不相等的實數根，

此時x＝0為方程的一實數根，則方程x²－4x+4－b＝0應有兩個不相等的非零實根，

所以Δ>0，且4－b≠0，

即(－4)²－4(4－b)>0且b≠4，

解得b>0且b≠4，

所以所求b的取值范圍是(0,4)∪(4，+∞).

16.已知函數

(1)寫出f(x)的單調區(qū)間；

(2)若f(x)＝16，求相應x的值.

解：(1)f(x)的單調增區(qū)間為[－2,0)，(2，+∞)，

單調減區(qū)間為(－∞，－2)，(0,2].

(2)由f(x)＝16

∴(x+2)²＝16，∴x＝2(舍)或－6；

或(x－2)²＝16，∴x＝6或－2(舍).

∴x的值為6或－6.

15.已知函數f(x)＝x²－cosx，對于上的任意x₁，x₂，有如下條件：

①x₁>x₂；②；③|x₁|>x₂.

其中能使f(x₁)>f(x₂)恒成立的條件序號是　　.

解析：函數f(x)為偶函數，f′(x)＝2x+sinx，

當0＜x≤時，0<sinx≤1,0<2x≤π，

∴f′(x)>0，函數f(x)在上為單調增函數，

由偶函數性質知函數在上為減函數.

當x>x時，得|x₁|>|x₂|≥0，

∴f(|x₁|)>f(|x₂|)，由函數f(x)在上為偶函數得f(x₁)>f(x₂)，故②成立.

∵>－，而f ＝f ，

∴①不成立，同理可知③不成立.故答案是②.

答案：②

14.已知函數f(x)＝log₂(x²－ax+3a)，對于任意x≥2，當Δx>0時，恒有f(x+Δx)>f(x)，則實數a的取值范圍是　　.

解析：依題意，對于任意x≥2，當Δx>0時，恒有f(x+Δx)>f(x)，說明函數f(x)在[2，+∞)上是單調遞增函數，所以應有，解得－4<a≤4，此即為實數a的取值范圍.

答案：(－4,4]

13.設函數 函數g(x)的遞減區(qū)間是　　.

解析：依題意有g(x)=x² f(x-1)=

所以g(x)的遞減區(qū)間是(0,1).

答案：(0,1)

12.函數y＝log₃(9－x²)的定義域為A，值域為B，則A∩B＝　　.

解析：由9－x²>0⇒－3<x<3，

則A＝(－3,3).又0<9－x²≤9，

∴y＝log₃(9－x²)≤2，則B＝(－∞，2].

所以A∩B＝(－3,2].

答案：(－3,2]

11．(2010·福州模擬)關于x的方程(m+3)x²－4mx+2m－1＝0的兩根異號，且負數根的絕對值比正數根大，那么實數m的取值范圍是________．

解析：∵x₁x₂<0，x₁+x₂<0，

∴，解得－3<m<0.

答案：(－3,0)

10.定義在R上的函數f(x)，如果存在函數g(x)＝kx+b(k，b為常數)，使得f(x)≥g(x)對一切實數x都成立，則稱g(x)為函數f(x)的一個承托函數.現(xiàn)有如下命題：

①對給定的函數f(x)，其承托函數可能不存在，也可能有無數個；

②g(x)＝2x為函數f(x)＝2^x的一個承托函數；

③定義域和值域都是R的函數f(x)不存在承托函數.

下列選項正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.① 　　　　　　　B.②　　　　　　　 C.①③　 　　　　　　　D.②③

解析：對于①，若f(x)＝sinx，則g(x)＝B(B<－1)，就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y＝tanx，y＝lgx就沒有承托函數，∴命題①正確；

對于②，∵當x＝時，g()＝3，f()＝＝2＝，∴f(x)<g(x)，

∴g(x)＝2x不是f(x)＝2^x的一個承托函數；

對于③如f(x)＝2x+3存在一個承托函數y＝2x+1.

答案：A

第Ⅱ卷　(非選擇題，共100分)

9.物體A以速度v＝3t²+1(m/s)在一直線l上運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時以v＝10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后物體A追上物體B所用的時間t(s)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.3　 　　　　　B.4　　　　　　　　　 C.5　 　　　　　　　　　D.6

解析：因為物體A在t秒內行駛的路程為∫(3t²+1)dt，

物體B在t秒內行駛的路程為∫10tdt，

所以∫(3t²+1－10t)dt＝(t³+t－5t²)|＝t³+t－5t²＝5

⇒(t－5)(t²+1)＝0，即t＝5.

答案：C