11、預測題
(1)函數(shù)
在
上有最大值
，則實數(shù)
的取值范圍為
分析：此函數(shù)的類型不確定，需要分類討論，可以用導數(shù)法求函數(shù)的最值，也可以用配方法求二次函數(shù)的最值。
解法一、當
時，
在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。
當
時，函數(shù)
，其對稱軸為
當
時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。
當
時，當
即
時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。
綜上：當
時，函數(shù)在上有最大值。
解法二、由得
，要使函數(shù)在上有最大值，需使在上為單調(diào)增函數(shù)，由
，當
時成立，當
，得
，因為
在上的最大值為
，所以。
綜上：當時，函數(shù)在上有最大值。
答案：
評注：在函數(shù)類型不確定時要分類討論最后整和答案。
(2)．(2008福建德化一中)已知函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù),當
時, 
(其中e是自然界對數(shù)的底, 
)
(Ⅰ) 求的解析式;
(Ⅱ)設(shè)
求證：當
，
時，
；
(Ⅲ)是否存在負數(shù)，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由。
分析：由函數(shù)的奇偶性的定義求得函數(shù)的解析式，(2)中要證明不等式在時恒成立，只需證明的最小值大于
的最大值，可以通過研究函數(shù)的單調(diào)性和極值求得，(3)為存在性命題，可以先假設(shè)存在，然后通過求導在區(qū)間內(nèi)研究最值。由于
中含有參數(shù)，而，那么可以根據(jù)與
的大小關(guān)系進行分類比較。
解：(Ⅰ)設(shè)
，則
，所以
又因為是定義在
上的奇函數(shù)，所以
故函數(shù)的解析式為
(Ⅱ)證明：當且時，
，設(shè)
因為
，所以當
時，
，此時單調(diào)遞減；當
時，
，此時單調(diào)遞增，所以
又因為
，所以當
時，
，此時
單調(diào)遞減，所以
所以當時，
即
(Ⅲ)解：假設(shè)存在負數(shù)
，使得當時，
有最小值是3，則
①當
，由于，則
，故函數(shù) 是
上的增函數(shù)．所以
，解得
(舍去)
②當
時，則當
時，
，此時函數(shù)是減函數(shù)；當
時，
，此時函數(shù)是增函數(shù)．
所以
，解得
滿足題意。
綜上可知，存在負數(shù)，使得當時，有最小值3
評注：本題在導函數(shù)的正負判斷上出現(xiàn)分歧，需要對的不同取值進行分類整合。
(3)．(2007湖北卷21)已知數(shù)列
和
滿足：
,
其中
為實數(shù)，
為正整數(shù).
(Ⅰ)對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；
(Ⅱ)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
(Ⅲ)設(shè)
,
為數(shù)列的前項和.是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有
?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.
分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義進行判斷,注意等比數(shù)列的首項不為0,公比不為0,由此引發(fā)分類討論.
(Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個實數(shù)
，使
是等比數(shù)列，則有
,即
矛盾.
所以{an}不是等比數(shù)列.
(Ⅱ)解：因為
又
,所以當
,此時
不是等比數(shù)列：
當
時，
,由上可知
bn≠0，∴
.
故當時，數(shù)列是以為首項，
為公比的等比數(shù)列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當
,不滿足題目要求.
∴，故知
，于是可得Sn=
要使
對任意正整數(shù)
成立，即
, ①
則
當n為正奇數(shù)時，
;
∴
的最大值為
,的最小值為
,
于是，由①式得
,
當
時，不存在實數(shù)滿足題目要求；
當
存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù),都有,且的取值范圍是
評注：本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力。對于等比數(shù)列的定義來說要掌握準確,注意其前提條件是首項不為0,公比不為0,另外,在研究
的取值范圍時也要注意指數(shù)取奇數(shù)和取偶數(shù)的不同影響,注意分類整合的思想的運用.
(4)(2008浙江省余姚中學)設(shè)
是
的一個極值點，
⑴求與
的關(guān)系式(用表示)并求
的單調(diào)區(qū)間.
⑵是否存在實數(shù)
，使得對任意
及
總有
恒成立，若存在求出的范圍。若不存在，說明理由.
分析：通過求導研究函數(shù)的極值和單調(diào)性,但要注意參數(shù)的不同取值對研究問題的影響,會對其各種不同的情況進行分類討論.
解：(1)
由
得
∴
令
得
由于是的極值點，故
，即
① 當
時，
，故
為的單調(diào)增區(qū)間；
為的單調(diào)減區(qū)間�！ �
② 當
時，
，故
為的單調(diào)增區(qū)間；
為的單調(diào)減區(qū)間�！ �
(2)由
得
，從而知在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，的值域為
假設(shè)存在實數(shù)滿足題設(shè)，依題意有：
恒成立，即
恒成立，
令
，則有
，解得
，即
評注:本題在導函數(shù)值為0時,方程的根的大小問題上產(chǎn)生分歧而需要分類討論.
(5)(2007全國1理21)已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
．過的直線交橢圓于
兩點，過的直線交橢圓于
兩點，且
，垂足為
．
(Ⅰ)設(shè)點的坐標為
，證明：
；
(Ⅱ)求四邊形
的面積的最小值．
分析: (Ⅰ)可以根據(jù)已知條件進行適當?shù)姆趴s證出. (Ⅱ)由可知四邊形的面積為
,只需通過解方程組求弦長.對于直線的方程要由點斜式寫出,需要考慮其斜率是否存在.
證明：(Ⅰ)橢圓的半焦距
，
由
知點在以線段
為直徑的圓上，故
，
所以，
．
(Ⅱ)(ⅰ)當
的斜率
存在且
時，的方程為
，代入橢圓方程，并化簡得
．
設(shè)
，
，則
，
；
因為
與
相交于點，且的斜率為
，
所以，
．
四邊形的面積
．
當
時，上式取等號．
(ⅱ)當的斜率
或斜率不存在時，四邊形的面積
．
綜上，四邊形的面積的最小值為
．
評注:在用直線的點斜式或斜截式寫方程時,要根據(jù)直線的斜率存在和不存在分兩種情況進行討論.
(6)(山東省濟寧市2009)已知函數(shù)
，
，且對于任意實數(shù)
，恒有
(Ⅰ)的解析式；
(Ⅱ)數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)數(shù)
有幾個零點？
分析：本題中可以根據(jù)恒等式求得函數(shù)的解析式，(Ⅱ)中的函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，則其導數(shù)值在區(qū)間內(nèi)恒負，即不等式恒成立,根據(jù)函數(shù)的圖象解答.
(Ⅲ)要研究函數(shù)的零點,需要通過研究函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性與極值,結(jié)合函數(shù)的圖象,根據(jù)不同的位置關(guān)系進行分類討論.
解：(Ⅰ)
根據(jù)題意，對于任意實數(shù)，恒有
即
，即
，所以
所以
(Ⅱ)
，
∵函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴在區(qū)間上
，即
在區(qū)間上恒成立. ∴
，即
(Ⅲ)
，
令
，解得
或
或
當
時，
；當時，
；當
時，；當
時，
；
①當
且
，即
時，函數(shù)沒有零點；
②
,即
時, 函數(shù)有兩個零點；
③
且，即
時，函數(shù)有四個零點；
④
時, 函數(shù)有三個零點；
⑤且
，即
時，函數(shù)有兩個零點；
綜上所述，當時，函數(shù)沒有零點；當時，函數(shù)有四個零點；當時，函數(shù)有兩個零點
評注:本題比較綜合的考查了函數(shù)的性質(zhì),以及根據(jù)函數(shù)的圖象進行分類整合,分類的標準就是函數(shù)的極值點與
軸的位置關(guān)系.
10、數(shù)列中的分類整合
例17．(2007上海卷，理20)若有窮數(shù)列
(是正整數(shù))，滿足
即
(
是正整數(shù)，且
)，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。
(1)已知數(shù)列
是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且
成等差數(shù)列，
，試寫出的每一項
(2)已知
是項數(shù)為
的對稱數(shù)列，且
構(gòu)成首項為50，公差為
的等差數(shù)列，數(shù)列的前
項和為
，則當為何值時，取到最大值？最大值為多少？
(3)對于給定的正整數(shù)
，試寫出所有項數(shù)不超過
的對稱數(shù)列，使得
成為數(shù)列中的連續(xù)項；當
時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和
分析：本題要正確理解“對稱數(shù)列”的定義，并根據(jù)定義寫出數(shù)列，求數(shù)列的前項和為時，可以按等差數(shù)列的求和公式求出，即把轉(zhuǎn)化為
求出。(3)中的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項，可以有正序、倒序以及中間是一項還是兩項等四種不同的情況，只需求出其中一種情況的前2008項和即可。
解：(1)設(shè)
的公差為
，則
，解得 
，
數(shù)列為
．
(2)
，
，
當
時，
取得最大值． 的最大值為626．
(3)所有可能的“對稱數(shù)列”是：
① 
；
② 
；
③ 
；
④ 
．
對于①，當
時，
．
當
時，
．
對于②，當時，
．
當時，
．
對于③，當時，
．
當時，
．
對于④，當時，．
當時，
．
評注：本題的關(guān)鍵是正確理解“對稱數(shù)列”的定義，并在此基礎(chǔ)上把“對稱數(shù)列”的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和求出。注意考慮問題要全面，分類做到不重不漏。
9、概率中的分類整合
例15．(2008南通四縣市)先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為
．
(1)求直線
與圓
相切的概率；
(2)將,5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率．
分析：先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為會發(fā)生的所有情況有36個基本事件，然后再把直線與圓相切的條件寫出，從中查出滿足條件的基本事件。而圍成等腰三角形需要判斷誰是底，誰是腰，需要根據(jù)的不同取值進行討論，在討論時可以以一個為主，一個為輔進行分類。
解：(1)先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為,事件總數(shù)為6×6=36．
∵直線與圓相切的充要條件是
即：
，由于
∴滿足條件的情況只有
；或
兩種情況．
∴直線與圓相切的概率是
(2)先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為,事件總數(shù)為6×6=36．
∵三角形的一邊長為5
∴當
時，
1種
當
時，
1種
當
時，
2種
當
時，
2種
當
時，
6種
當a=6時，
2種
故滿足條件的不同情況共有14種
答：三條線段能圍成不同的等腰三角形的概率為
．
評注：本題中由三角形的形狀引發(fā)的對字母的不同取值討論，分類時要按一定的次序進行，做到不重不漏。
例16．(2008福建卷，20)某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為
，科目B每次考試成績合格的概率均為
.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.
(Ⅰ)求他不需要補考就可獲得證書的概率；
(Ⅱ)在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為
，
求的數(shù)學期望E.
分析：在這項考試過程中，此人參加考試的次數(shù)為，會出現(xiàn)多種情況，
， 
取2時，說明他一次性通過，順利拿到畢業(yè)證，取3時，說明他需要補考一次，分兩種情況，取4時，說明他需要補考兩門，分別計算求出。
解:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B，“科目B補考合格”為事件B.
(Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為A1·B1,注意到A1與B1相互獨立，
則
.
答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為
.
(Ⅱ)由已知得，，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得
故
答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學期望為
.
評注：在求互斥事件的概率和相互獨立事件的概率和隨機變量的分布列時，常常要根據(jù)實際情況分多種不同的情況進行分類討論。本小題主要考查概率的基本知識與分類思想,考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.
8、由位置關(guān)系引發(fā)的討論
例13．(2008廣東省深圳中學)已知方程 
(1)當時，求方程的各個實根；
(2)若方程
均在直線
的同側(cè)，求實數(shù)的取值范圍。
分析：本題通過解方程組研究曲線的交點，交點均在直線的同側(cè)，可能在直線的左側(cè)，也可能是直線的右側(cè)，結(jié)合函數(shù)的圖象，把問題轉(zhuǎn)化為特殊點滿足的不等式組解答。
解：(1)當時，
，解得
(2)
函數(shù)
的圖象相交于兩點(2，2)，(-2，-2)
函數(shù)
的圖象相交于兩點(1，1)，(-1，-1)
①當時，點
的直線的異側(cè)
②當時，要使
與
的兩個交點在同直線的右側(cè)
滿足
；
當時，要使與的兩個交點在同直線的左側(cè)
需滿足
所以滿足條件的的取值范圍是(
評注：本題綜合考查方程與函數(shù)的數(shù)學思想、分類討論的數(shù)學思想
|
例14．從6種小麥品種中選出4種，分別種植在不同土質(zhì)的4塊土地上進行試驗，已知1號，2號小麥品種不能在試驗田甲這塊地上種植，則不同的種植方法有( )
分析：由于本題中有特殊的元素和多余的元素，所以需要根據(jù)特殊元素有沒有入選進行分類。
解：分三類：(1)不選1號，2號小麥品種，有
種選法；
(2)1號，2號小麥品種只選1種，有
種不同的選法；
(3)1號，2號小麥品種都選，有
種選法。
綜上，共有240種選法。
答案：240
評注：在排列組合中，常常遇到不同的情況，需要根據(jù)實際進行恰當?shù)胤诸�，分類時要做到不重不漏。
例5．已知
，求
的值
解析：已知，但不知角
所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上；應根據(jù)的值來確定角所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上，然后分不同的情況來求的值。
(1)當
，即
(此時角的終邊在軸上)時，
(2)當
，為第一或第三象限角
若角在第三象限，則
若角在第三象限，則
(3)當
，為第二或第四象限角
若角在第二象限，則
若角在第四象限，則
綜上所述，當角在第一象限、軸的正方向及第四象限角時，
當角在第二象限、軸的負方向及第三象限角時，
7、由圓錐曲線的范圍引發(fā)的討論
例11．(2007上海文)我們把由半橢圓
與半橢圓
合成的曲線稱作“果圓”，其中
，
，
．如圖，設(shè)點
，
，
是相應橢圓的焦點，
，
和
，
是“果圓”
與，
軸的交點，
是線段
的中點．
(1)若
是邊長為1的等邊三角形，求該
“果圓”的方程；
(2)設(shè)是“果圓”的半橢圓
上任意一點．求證：當
取得最小值時，
在點
或
處；
(3)若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．
分析： 本題中的果圓兩部分之間的聯(lián)系在于有共同的頂點，以此為據(jù)求解方程。(2)(3)則由距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)研究最值。但要注意圓錐曲線的范圍，即得到二次函數(shù)的定義域，在其定義域內(nèi)求函數(shù)的最值。
解：(1)
，
，
于是
，
所求“果圓”方程為
，
．
(2)設(shè)
，則
，
， 
的最小值只能在
或
處取到．
即當取得最小值時，在點或處．
(3)
，且
和
同時位于“果圓”的半橢圓
和半橢圓
上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圓”的半橢圓
上的情形即可．
．
當
，即
時，的最小值在
時取到，
此時的橫坐標是
．
當
，即
時，由于在
時是遞減的，的最小值在
時取到，此時的橫坐標是．
綜上所述，若，當
取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或
．
評注：本題的創(chuàng)意在于把焦點在軸上和焦點在軸上的橢圓聯(lián)為一體，看似陌生實質(zhì)為基本知識，要善于發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，在把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時，應該有函數(shù)意識，尋求函數(shù)的定義域，即圓錐曲線的范圍，并在定義域內(nèi)求值域。
例12．(2007陜西卷，文22)已知橢圓C:
=1(a＞b＞0)的離心率為
,短軸一個端點到右焦點的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為
，求△AOB面積的最大值.
分析：要求三角形的面積，需要由斜截式寫出直線的方程，解方程組求弦長和頂點到直線的距離，但用斜截式寫方程時要注意其斜率是否存在，不定則需討論。
解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為
，依題意
，所求橢圓方程為
．
(Ⅱ)設(shè)
，
．
(1)當
軸時，
．
(2)當
與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為
．
由已知
，得
．
把代入橢圓方程，整理得
，
，
．
．
當且僅當
，即
時等號成立．當時，，
綜上所述
．
當
最大時，
面積取最大值
．
評注：在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在。一般要分情況討論。
6、參數(shù)對函數(shù)單調(diào)性(極值點)的影響
例10．(2008山東卷，理)設(shè)函數(shù)
，其中
．
(Ⅰ)當
時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
(Ⅱ)求函數(shù)的極值點；
(Ⅲ)證明對任意的正整數(shù)，不等式
都成立．
分析：先求得函數(shù)的定義域，再通過判斷導函數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性是在的前提下完成的，由(Ⅰ)可知在(Ⅱ)中求函數(shù)的極值點需要對
的取值以
為界限分類判斷。另外還要注意到函數(shù)的定義域，需要對求出的極值點是否在定義域內(nèi)作出判斷。(Ⅲ)可通過觀察不等式與所給函數(shù)的關(guān)系，就不難發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，實質(zhì)上當
，
時，
，需要構(gòu)造函數(shù)即可。
解：(I) 函數(shù)的定義域為
.
，
令
，則在
上遞增，在
上遞減，
.當時，
，
在上恒成立.
即當時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。
(II)分以下幾種情形討論：(1)由(I)知當時函數(shù)無極值點.
(2)當
時，
，
時，
時，
時，函數(shù)在上無極值點。
(3)當
時，解
得兩個不同解
，
.
當
時，
，
，
此時在上有唯一的極小值點.
當
時，
在
都大于0 ，在
上小于0 ，
此時有一個極大值點和一個極小值點.
綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；
時，有一個極大值點和一個極小值點；
時，函數(shù)在上無極值點。
(III) 當
時，
令
則
在
上恒正，
在上單調(diào)遞增，當
時，恒有
.
即當時，有
，
對任意正整數(shù)，取
得
評注：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用、不等式的證明方法。求導是判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的最有效的方法。(II)需要分類討論，由(I)可知分類的標準為
(III)構(gòu)造新函數(shù)為證明不等式“服務(wù)”，構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)是不等式關(guān)系中隱含的易于判斷的函數(shù)關(guān)系。注意參數(shù)的取值范圍對函數(shù)的單調(diào)性的影響，必要時要進行分類討論。
5、由絕對值的定義引發(fā)的討論
例8．(2008山東省鄆城一中)已知等比數(shù)列
中，
分別是某等差數(shù)列的第5項，第3項，第2項，且
，公比
；
(1)求
(2)設(shè)
，求數(shù)列
的前n項和
。
分析：由已知條件求得
，從而得到
，在求數(shù)列的前n項和時，要根據(jù)絕對值的定義將絕對值的符號去掉，再求和。
解：(Ⅰ)依題意得
又
(Ⅱ)
評注：本題為由絕對值的定義引發(fā)的分類討論，注意最后要整合所求的答案。即用分段函數(shù)表示出數(shù)列的前n項和的解析式。
例9．(2008江蘇卷20)已知函數(shù)
，
(
為常數(shù))．函數(shù)定義為：對每個給定的實數(shù)，
(1)求
對所有實數(shù)成立的充分必要條件(用
表示)；
(2)設(shè)
是兩個實數(shù)，滿足
，且
．若
，求證：函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為
(閉區(qū)間
的長度定義為
)
分析：由于題目所給的條件就是分段函數(shù)，注意到其使用的前提條件，就可以進行轉(zhuǎn)化，根據(jù)(1)的結(jié)論在解答(2)時，就要注意滿足和不滿足(1)的結(jié)論，從而選擇具體使用哪一個解析式，并進行分類討論。
解：(1)由的定義可知，(對所有實數(shù))等價于
(對所有實數(shù))這又等價于
，即
對所有實數(shù)均成立. (*) 由于
的最大值為
，
故(*)等價于
，即
，這就是所求的充分必要條件。
(2)分兩種情形討論
(i)當
時，由(1)知(對所有實數(shù)
)
則由
及
易知
，
再由
的單調(diào)性可知，
函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度
為
(參見示意圖1)
(ii)
時，不妨設(shè)
，則
，于是
當
時，有
，從而；
當
時，有
從而
��；當
時，
，及
，由方程
解得
圖象交點的橫坐標為
⑴
顯然
，
這表明
在
與
之間。由⑴易知 
綜上可知，在區(qū)間上，
(參見示意圖2)
故由函數(shù)
及
的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為
，由于
，即
，得
⑵
故由⑴、⑵得 
綜合(i)(ii)可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為
。
評注：本題的條件比較復雜，題目中解析式需要自己根據(jù)條件確定，進行分類討論。解決本題的障礙在于有可能讀不懂題意，條件比較抽象，從而對問題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生障礙，不能夠做到善始善終地解決徹底。
4、兩個實數(shù)大小關(guān)系的確定
例6．(2008寧夏銀川一中)設(shè)
且
,比較
與
的大�。�
分析：用作差法比較兩個實數(shù)的大小，當情況不定時需要分類討論。
解: 
-(
)=
,
當
且
時,∵ 
,∴
．
當
時, ∵ 
,∴=．
當
時,∵ 
,∴
。
評注：在比較兩個數(shù)的大小關(guān)系時，要注意參數(shù)的取值范圍和不同的取值所得到的結(jié)果不同。
例7．(2008南通四縣)已知函數(shù)
(1)當
時，
恒成立，求的取值范圍；
(2)討論在定義域上的單調(diào)性；
分析：(1)中不等式恒成立問題可以分離出參數(shù)，但在分離過程中，由于的系數(shù)的不同取值會產(chǎn)生分類討論，分別轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值，(2)在利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，由于導函數(shù)值為0時的根不定而引發(fā)分類討論。
解：(1)：由 恒成立,得:
在時恒成立
當時，當時即
，令
,
由于
時
,在
時為增函數(shù)，
在
時為減函數(shù)
∴ 
∴ 
(2)：，
(Ⅰ)當
時，
恒成立，
在
上為增函數(shù)．
(Ⅱ)當
時，①當
時，
，
在
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)。②當時，在
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)．
③當時，
，故在
]上為減函數(shù)，
在[
上為增函數(shù)．
評注：在進行分類討論時，要注意分類的標準的劃分，做到不重不漏。.
3、變量對不等式變形的影響
例5．(2008江蘇卷14)．設(shè)函數(shù)
，若對于任意的
都有
成立，則實數(shù)的值為
分析：若對于任意的都有成立，不等式恒成立求參數(shù)的范圍，可將參數(shù)分化出來，在分離時需要對其系數(shù)的正負進行討論，轉(zhuǎn)為的不等式，然后可以通過求導研究右邊關(guān)于的函數(shù)，判斷其單調(diào)性并求出其最值。
解：若，則不論取何值，
≥0顯然成立；當
即
時，
≥0可化為：
設(shè)
，則
，
所以
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，在區(qū)間
上單調(diào)遞減，因此
，從而≥4；
當x＜0 即
時，≥0可化為
，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此
，從而≤4，綜上＝4
答案：4
評注：本小題考查不等式的轉(zhuǎn)化和函數(shù)單調(diào)性的綜合運用。對于不等式恒成立問題常常要將參數(shù)分離出來，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值。通過求導研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，在情況不定時對其取值進行分類討論。
2、函數(shù)的零點(或方程的根)與所給區(qū)間關(guān)系的討論
例3．(2007廣東) 已知是實數(shù)，函數(shù)
，如果函數(shù)
在區(qū)間
上有零點，求的取值范圍.
分析：先確定函數(shù)的類型，函數(shù)的零點即為方程的根，對于二次方程的實根情況要結(jié)合其對稱軸和區(qū)間進行分類討論。
解：若
, 
,顯然在上沒有零點, 所以 
.
令 
, 解得 
①當 
時, 
的解為
，
恰有一個零點在
上;
②當
，即
時，在上也恰有一個零點.
③當在上有兩個零點時, 則
或
解得
或
，綜上所求實數(shù)的取值范圍是 
或 
.
評注：二次方程的實根分布要結(jié)合二次函數(shù)的圖象對其所給的區(qū)間與其對稱軸之間的相對位置關(guān)系進行分類討論，可從四個角度考慮①開口方向②對稱軸③判別式④端點�！ �
例4．(2008天津卷，文21)已知是實數(shù)，函數(shù)
。
(Ⅰ)若
，求的值及曲線
在點
處的切線方程；
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值。
分析：本題為三次函數(shù)在閉區(qū)間上研究最大，可以通過求導，其導函數(shù)含有參數(shù)，在求解方程時，方程的根與區(qū)間的位置關(guān)系不定而引發(fā)的分類討論。
解：(Ⅰ)
，因為
，所以．又當時，
，
，所以曲線在
處的切線方程為
．
(Ⅱ)令
，解得
，
．
當
，即
時，在
上單調(diào)遞增，從而
．
當
，即
時，在上單調(diào)遞減，從而
．
當
，即
時，在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，從而
綜上所述， 
評注：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導數(shù)的應用等基礎(chǔ)知識，以及運用分類整合的數(shù)學思想和綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．
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