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15．排成一排的名學生生日的月份均不相同，有名教師，依次挑選這些學生參加個興趣小組，每個學生恰被一名教師挑選，且保持學生的排序不變，每名教師挑出的學生必須滿足生日的月份是逐漸增加或逐漸減少的(挑選一名或兩名學生也認為是逐漸增加或逐漸減少的)，每名教師盡可能多選學生，對于學生所有可能的排序，求的最小值。

解　 的最小值為。

若，不妨假設這名學生生日的月份分別為，當學生按生日排序為時，存在一名教師至少要挑選前四名學生中的兩名，由于這兩名學生生日的月份是逐漸減少的，且后六名學生生日的月份均大于前四名學生生日的月份，因此這名教師不可能再挑選后六名學生；在余下的不超過兩名教師中，一定存在一名教師至少要挑選第五名至第七名學生中的兩名，同理，這名教師不可能再挑選后三名學生；余下的不超過一名教師也不可能挑選后三名學生，矛盾。

下面先證明：對于互不相同的有序實數(shù)列，當時，一定存在三個數(shù)滿足或。

設最大數(shù)和最小數(shù)分別為，不妨假設。若，則滿足；，因為，所以要么在的前面，要么在的后面至少有兩個數(shù)，不妨假設在的后面有兩個數(shù)，從而與中一定有一個成立。

引用上面的結論，當時，第一名教師至少可以挑選三名學生；若余下的學生大于等于名，則第二名教師也至少可以挑選三名學生；這時剩下的學生的數(shù)目不超過名，可以被兩名教師全部挑選，因此，的最小值為。

14．已知數(shù)列滿足，對于所有正整數(shù)，有，求使得成立的最小正整數(shù)。

解法一　 設，的特征方程為，特征根為，結合，得。由二項式定理得。

當為奇數(shù)時，；

當為偶數(shù)時，。

于是，即，所以滿足條件的最小正整數(shù)為。

解法二　 下面都是在模意義下的,則,即,因此數(shù)列在模意義下具有等差數(shù)列的特點。又因為，所以。于是有，因此滿足條件的最小正整數(shù)為。

13．已知的外心為，，為的外接圓上且在內(nèi)部的任意一點，以為直徑的圓分別與交于點， 分別與或其延長線交于點，求證三點共線。

證明　 連，與交于點，由于，因此是等腰三角形，所以,，于是可得，從而有在的中垂線上。由于，在的中垂線上，于是有，即三點共線。

12．在平面直角坐標系中定義兩點之間的交通距離為。若到點的交通距離相等，其中實數(shù)滿足，則所有滿足條件的點的軌跡的長之和為　　　　　　 。

答　 。

由條件得。

當時，無解；

當時，無解；

當時，無解；

當時，，線段長為。

當時，，線段長為。

當時，線段長為。

當時，無解。

當時，無解。

當時，無解。

綜上所述，點的軌跡構成的線段的長之和為。

11．設集合，其中是五個不同的正整數(shù)，，若中所有元素的和為，則滿足條件的集合的個數(shù)為　　　　　　 。

答　 。

因為，所以。由于中有，因此中有。若，則，于是，無正整數(shù)解。若，由于，所以，于是。又因為，當時，；當時，，因此滿足條件的共有個，分別為。

10．方程的不同非零整數(shù)解的個數(shù)為　　　　　　 。

答　 。

利用，原方程

等價于

。

方程兩端同除，整理后得。再同除，得

。

即，從而有

。

經(jīng)驗證均是原方程的根，所以原方程共有個整數(shù)根。

9．若是邊長為的正三角形的邊上的點，與的內(nèi)切圓半徑分別為，若，則滿足條件的點有兩個，分別設為，則之間的距離為　　　　　　 。

答　 。

設，由余弦定理得。一方面，，另一方面，，解得。同理可得。從而有。當時，有最大值，且最大值為，所以。由于，所以。設兩個根分別為，則。

8．方程的所有正整數(shù)解為　　　　 　　。

答　 。

因為，所以。設，類似的可得 。設，則原方程化為，，即。因為，所以。又因為，所以為偶數(shù)，于是，經(jīng)驗證，，所以。

或由，得，又因為為奇數(shù)，所以經(jīng)驗證。

7．若關于的方程組有解，且所有的解都是整數(shù)，則有序數(shù)對的數(shù)目為　　　　　　 。

答　 。

因為的整數(shù)解為

，

所以這八個點兩兩所連的不過原點的直線有條，過這八個點的切線有條，每條直線確定了唯一的有序數(shù)對，所以有序數(shù)對的數(shù)目為。

6．過四面體的頂點作半徑為的球，該球與四面體的外接球相切于點，且與平面相切。若，則四面體的外接球的半徑為(　　　　　 )。

答　 選。

過作平面的垂線，垂足為，作，垂足為，，垂足為，則，且有。由于，則，，，因此為半徑為的球的直徑，從而四面體的外接球的球心在的延長線上，于是有，解得。