1．以下短文摘自古代《孫子算經(jīng)》一書，其引申出的“大衍求一術(shù)”稱為“中國剩余原理”：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”答曰( ).
A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四
[例1]
， 
，
， 
7=
.
A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3
錯解：根據(jù)
表示不超過
的整數(shù)部分, 
表示
除以
所得的余數(shù),選擇B.
錯因:對表示的含義理解不透徹,將不超過-0.05的整數(shù)錯認(rèn)為是0,將負(fù)數(shù)的大小比較與正數(shù)的大小比較相混淆.
正解：不超過-0.05的整數(shù)是-1,所以答案為D.
[例2] 所謂同構(gòu)數(shù)是指此數(shù)的平方數(shù)的最后幾位與該數(shù)相等.請設(shè)計一算法判斷一個大于0且小于1000的整數(shù)是否為同構(gòu)數(shù).
錯解： 算法思想：求出輸入數(shù)的平方，考慮其個位或最后兩位或最后三位與輸入數(shù)是否相等，若相等，則為同構(gòu)數(shù).
Read x
If 
or 
or 
Then
Print x
End if
End
錯因：在表示個位或最后兩位或最后三位出現(xiàn)錯誤，“/”僅表示除，y/10,y/100,y/1000都僅僅表示商.
正解：可用
來表示個位，最后兩位以及最后三位.
Read x
If 
or 
or 
Then
Print x
End if
End
[例3]《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”可以用下面的算法解決：先在紙上寫上2，每次加3，加成5除余3的時候停下來，再在這個數(shù)上每次加15，到得出7除2的時候，就是答數(shù).
試用流程圖和偽代碼表示這一算法.
解：流程圖為：
偽代碼為：
10 
20 
30 If 
Then Goto 20
40 If 
Then
Print 
Goto 80
50 End if
60 
70 Goto 40
80 End
點評：這是孫子思想的體現(xiàn)，主要是依次滿足三個整除條件.
[例4]分別用輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損法求192與81的最大公約數(shù).
解：輾轉(zhuǎn)相除法：
S1 
S2
S3
S4
S5 
故3是192 與81 的最大公約數(shù).
更相減損法：
S1
S2 
S3 
S4 
S5 
S6 
S7 
S8 
S9
故3 是192與81的最大公約數(shù).
點評：輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少.輾轉(zhuǎn)相除法是當(dāng)大數(shù)被小數(shù)整除時停止除法運算，此時的小數(shù)就是兩者的最大公約數(shù)，更相減損術(shù)是當(dāng)大數(shù)減去小數(shù)的差等于小數(shù)時減法停止，較小的數(shù)就是最大公約數(shù).
[例5]為了設(shè)計用區(qū)間二分法求方程
在[0，1]上的一個近似解(誤差不超過0.001)的算法,流程圖的各個框圖如下所示,請重新排列各框圖,并用帶箭頭的流線和判斷符號“Y”、“N”組成正確的算法流程圖,并寫出其偽代碼.(其中
分別表示區(qū)間的左右端點)
圖13-3-2
流程圖為
圖13-3-3
偽代碼為
10 Read
20 
30 
40 
50 If 
Then Goto 120
60 If 
Then
70 
100 End if
80 Else
90 
100 End if
110 If 
Then Goto 20
120 Print 
130 End
點評：二分法的基本思想在必修一中已滲透，這里運用算法將二分法求方程近似解的步驟更清晰的表述出來.
[例6] 用秦九韶算法計算多項式
在
時的值時，
的值為
.
解： 根據(jù)秦九韶算法，此多項式可變形為
按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)時的值：
故當(dāng)時多項式的值為
.
點評：秦九韶算法的關(guān)鍵是n次多項式的變形.
把一個
次多項式
改寫成
，求多項式的值，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，這樣把求次多項式的值問題轉(zhuǎn)化為求個一次多項式的值的問題，這種方法成為秦九韶算法.這種算法中有反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此，可考慮用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn).
4．用二分法求方程近似解，必須先判斷方程在給定區(qū)間[]上是否有解,即
連續(xù)且滿足
.并在二分搜索過程中需對中點處函數(shù)值的符號進行多次循環(huán)判定，故需要選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)，即可用Goto 語句和條件語句實現(xiàn)算法.
3．輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：
(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯.
(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到.
2．表示除以所得的余數(shù)，也可用 表示.
1．表示不超過的整數(shù)部分，如
，但當(dāng)
是負(fù)數(shù)時極易出錯，如
就是錯誤的，應(yīng)為-2.
2.更相減損術(shù)的步驟：(1)任意給出兩個正數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.(2)以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù).繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù).
(3)二分法求方程
在區(qū)間
內(nèi)的一個近似解
的解題步驟可表示為
S1 取[]的中點
，將區(qū)間 一分為二；
S2 若
，則就是方程的根；否則判別根
在的左側(cè)還是右側(cè)：
若
，
，以代替；
若
，則
，以代替；
S3 若
，計算終止，此時
，否則轉(zhuǎn)S1.
1．算法設(shè)計思想：
(1)“韓信點兵-孫子問題”對正整數(shù)m從2開始逐一檢驗條件，若三個條件中有任何一個不滿足，則m遞增1，一直到m同時滿足三個條件為止(循環(huán)過程用Goto語句實現(xiàn))
(2)用輾轉(zhuǎn)相除法找出
的最大公約數(shù)的步驟是：計算出
的余數(shù)
，若
，則為的最大公約數(shù)；若
，則把前面的除數(shù)作為新的被除數(shù)，繼續(xù)運算，直到余數(shù)為0，此時的除數(shù)即為正整數(shù)的最大公約數(shù).
5. 將100名學(xué)生的一門功課的成績依次輸入并計算輸出平均成績.
§ 13．3 算法案例
4.運行下面程序后輸出的結(jié)果為
For I from 10 to 1 step -2
Print I
End for
End
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