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5.(2009·岳陽(yáng)模擬)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a-2，-1)和(-a-2，1)且與經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，1)，斜率為-的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為　　　 .

答案　 -

例1 已知直線l₁:ax+2y+6=0和直線l₂:x+(a-1)y+a²-1=0,

(1)試判斷l(xiāng)₁與l₂是否平行；

(2)l₁⊥l₂時(shí)，求a的值.

解　 (1)方法一　 當(dāng)a=1時(shí)，l₁:x+2y+6=0,

l₂:x=0,l₁不平行于l₂;

當(dāng)a=0時(shí)，l₁:y=-3,

l₂:x-y-1=0,l₁不平行于l₂;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線可化為

l₁:y=--3,l₂:y=-(a+1),

l₁∥l_2，解得a=-1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

綜上可知，a=-1時(shí)，l₁∥l₂，否則l₁與l₂不平行.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

方法二　 由A₁B₂-A₂B₁=0，得a(a-1)-1×2=0，

由A₁C₂-A₂C₁≠0，得a(a²-1)-1×6≠0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

∴l(xiāng)₁∥l₂

a=-1,　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

故當(dāng)a=-1時(shí)，l₁∥l₂，否則l₁與l₂不平行.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)方法一　 當(dāng)a=1時(shí)，l₁:x+2y+6=0,l₂:x=0,

l₁與l₂不垂直，故a=1不成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 當(dāng)a≠1時(shí)，l₁:y=-x-3,

l₂:y=-(a+1),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由·=-1a=.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

方法二　 由A₁A₂+B₁B₂=0，得a+2(a-1)=0a=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2 求過(guò)兩直線l₁:x+y+1=0,l₂:5x-y-1=0的交點(diǎn)，且與直線3x+2y+1=0的夾角為的直線方程.　

解 設(shè)所求直線方程為x+y+1+(5x-y-1)=0,　

即(1+5)x+(1-)y+1-=0.　

因?yàn)樗�求直線與直線3x+2y+1=0的夾角為,　

所以tan=

解得=-.　

∴所求直線方程為x+5y+5=0.　

又直線l₂:5x-y-1=0與直線3x+2y+1=0的夾角滿足tan=

∴=，故直線l₂也是符合條件的一解.　

綜上所述，所求直線方程為　

x+5y+5=0或5x-y-1=0.　

例3 (12分)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，1)且被兩平行線l₁:x+y+1=0,l₂:x+y+6=0截得的線段長(zhǎng)為5，求直線l的方程.

解　 方法一　 若直線l的斜率不存在，

則直線l的方程為x=3,此時(shí)與l₁,l₂的交點(diǎn)分別是

A(3，-4)，B(3，-9)，

截得的線段長(zhǎng)|AB|=|-4+9|=5,符合題意.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

若直線l的斜率存在時(shí)，

則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1,

分別與直線l₁,l₂的方程聯(lián)立，

由,

解得A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

由,解得B,

由兩點(diǎn)間的距離公式，得

+=25，

解得k=0,即所求直線方程為y=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 10分

綜上可知，直線l的方程為x=3或y=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 12分

方法二　 設(shè)直線l與l₁,l₂分別相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+y₁+1=0,x₂+y₂+6=0,

兩式相減，得(x₁-x₂)+(y₁-y₂)=5　　　　　　　　　　　 ①　　　　　　　　　　　　　　　 　　 6分

又(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=25　　　　　　　　　　　　　　　 ②

聯(lián)立①②可得或,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 10分

由上可知，直線l的傾斜角分別為0°和90°，

故所求的直線方程為x=3或y=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 12分

例4 求直線l₁:y=2x+3關(guān)于直線l:y=x+1對(duì)稱(chēng)的直線l₂的方程.

解　 方法一　 由

知直線l₁與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，-1)，

∴設(shè)直線l₂的方程為y+1=k(x+2),

即kx-y+2k-1=0.

在直線l上任取一點(diǎn)(1，2)，

由題設(shè)知點(diǎn)(1，2)到直線l₁、l₂的距離相等，

由點(diǎn)到直線的距離公式得

=，

解得k=(k=2舍去)，

∴直線l₂的方程為x-2y=0.

方法二　 設(shè)所求直線上一點(diǎn)P(x,y),

則在直線l₁上必存在一點(diǎn)P₁(x₀,y₀)與點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng).

由題設(shè)：直線PP₁與直線l垂直，且線段PP₁的中點(diǎn)

P₂在直線l上.

∴，變形得,

代入直線l₁:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,

整理得x-2y=0.

所以所求直線方程為x-2y=0.

4.已知直線l₁：y=2x+3，直線l₂與l₁關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，直線l₃⊥l₂，則l₃的斜率為　　 (　　 )　

?A.　　　　　　 ?B.-　　　　　　　 　　 C.-2?　　　　　　　　　　　 D.2　

答案?C?　

3.已知過(guò)點(diǎn)A(-2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y=1平行，則m的值為(　　 )　

?A.0　　 ?　　　　　　 B.-8　　　　　 ?　 C.2　　　　　　　　　　　　　 D.10　

答案?B?　

2.已知直線2x+y-2=0和mx-y+1=0的夾角為,那么m的值為　　　　　　　　 (　　 )　

A.-或-3　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.　

C.-或3　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.或-3　

答案?C?

1.如果直線ax+2y+2=0與直線3x-y-2=0平行，那么實(shí)數(shù)a等于　　　　　　　 (　　 )　

A.-3　　　　　　　 B.-6　　　　　　　 C.-　　　　　　　　　　　 D.　

答案?B?　

12.過(guò)點(diǎn)P(3，0)作一直線，使它夾在兩直線l₁：2x-y-2=0與l₂:x+y+3=0之間的線段AB恰被點(diǎn)P平分，求此直線的方程.

解　 方法一　 設(shè)點(diǎn)A(x，y)在l₁上，

由題意知，∴點(diǎn)B(6-x，-y)，

解方程組，

得，∴k=.

∴所求的直線方程為y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

方法二　 設(shè)所求的直線方程為y=k(x-3),

則,解得,

由,解得.

∵P(3,0)是線段AB的中點(diǎn)，

∴y_A+y_B=0，即+=0，

∴k²-8k=0，解得k=0或k=8.

又∵當(dāng)k=0時(shí)，x_A=1,x_B=-3,

此時(shí),∴k=0舍去，

∴所求的直線方程為y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

§7.2兩直線的位置關(guān)系

11.已知兩點(diǎn)A(-1，2)，B(m，3).

(1)求直線AB的方程；

(2)已知實(shí)數(shù)m∈，求直線AB的傾斜角的取值范圍.

解　 (1)當(dāng)m=-1時(shí)，直線AB的方程為x=-1,

當(dāng)m≠-1時(shí)，直線AB的方程為y-2=(x+1).

(2)①當(dāng)m=-1時(shí)，=;

②當(dāng)m≠-1時(shí)，m+1∈，

∴k=∈(-∞，-］∪，

∴∈.

綜合①②知，直線AB的傾斜角∈.

10.已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：

(1)過(guò)定點(diǎn)A(-3，4)；(2)斜率為.

解　 (1)設(shè)直線l的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是--3，3k+4，

由已知，得(3k+4)(+3)=±6，

解得k₁=-或k₂=-.

直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程是y=x+b,它在x軸上的截距是-6b,

由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.

∴直線l的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.

9.已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1，1)、(2，2)，若直線l：x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的取值范圍.

解　 方法一　 直線x+my+m=0恒過(guò)A(0，-1)點(diǎn).

k_AP==-2，k_AQ==，

則-≥或-≤-2，

∴-≤m≤且m≠0.

又∵m=0時(shí)直線x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，

∴所求m的取值范圍是-≤m≤.

方法二　 過(guò)P、Q兩點(diǎn)的直線方程為

y-1=(x+1),即y=x+,

代入x+my+m=0,

整理，得x=-.

由已知-1≤-≤2,

解得-≤m≤.

8.已知兩點(diǎn)A(-1，-5)，B(3，-2)，若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是　　　　 .

答案