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2．不等式|x|+|x－1|<2的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(－∞，－)∪(，+∞) 　　　　　　　B．(－∞，－]

C．(－，)　 　　　　　　　　　　　　　D．[，+∞)

解析：利用絕對(duì)值的幾何意義來解決．令|x|+|x－1|＝2得x＝－或，結(jié)合數(shù)軸得x∈(－，)．

答案：C

1．對(duì)任意x∈R，|2－x|+|3+x|≥a²－4a恒成立，則a滿足的范圍是　　　 (　)

A．[－1,5]　　　　 B．(－1,5]

C．(－∞，5] 　　　　　　　D．(－1，+∞)

解析：　因?yàn)閨2－x|+|3+x|≥5，要使|2－x|+|3+x|≥a²－4a恒成立，即5≥a²－4a，解得－1≤a≤5.

答案：A

21.已知△ABC的面積S滿足≤S≤3，且·＝6，AB與BC的夾角為θ.

(1)求θ的取值范圍；

(2)求函數(shù)f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值.

解：(1)由題意知：

·＝| || |cosθ＝6，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

S＝| || |sin(π－θ)

＝| || |sinθ，　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.

由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.

又θ為與的夾角，

∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，].

(2)f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ

＝1+sin2θ+2cos²θ

＝2+sin2θ+cos2θ

＝2+sin(2θ+).

∵θ∈[，]，∴2θ+∈[，].

∴當(dāng)2θ+＝，θ＝時(shí)，f(θ)取最小值3.

20.已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，

　(1)求D點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若D點(diǎn)在第二象限，用，表；

(3)＝(m,2)，若3+與垂直，求坐標(biāo).

解：(1)設(shè)D(x，y)，＝(1,2)，＝(x+1，y).

由題得

∴

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,3)或(2,1).

(2)∵D點(diǎn)在第二象限，∴D(－2,3).

∴＝(－1,3).∵＝(－2,1)，

設(shè)＝m+n，

則(－2,1)＝m(1,2)+n(－1,3)，

∴∴

∴＝－+.

(3)∵3+＝3(1,2)+(－2,1)＝(1,7)，

＝(m,2)，

∴(3+)·＝0.

∴m+14＝0.∴m＝－14.

∴＝(－14,2).

19.已知復(fù)數(shù)z₁＝cosα+isinα，z₂＝cosβ+isinβ，|z₁－z₂|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

解：(1)∵z₁－z₂＝(cosα－cosβ)+i(sinα－sinβ)，

|z₁－z₂|＝，

∴＝，

∴cos(α－β)＝＝.

(2)∵－＜β＜0＜α＜，

∴0＜α－β＜π.由(1)得cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝.又sinβ＝－，∴cosβ＝.

∴sinα＝sin[(α－β)+β]

＝sin(α－β)cosβ+cos(α－β)sinβ

＝×+×(－)＝.

18.已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).

(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；

(2)若m⊥p，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝，求△ABC的面積.

解：(1)證明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，

即a·＝b·，

其中R是△ABC外接圓半徑，∴a＝b.

∴△ABC為等腰三角形.

(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)+b(a－2)＝0.

∴a+b＝ab.

由余弦定理可知，4＝a²+b²－ab＝(a+b)²－3ab，

即(ab)²－3ab－4＝0.

∴ab＝4(舍去ab＝－1)，

∴S＝absinC＝×4×sin＝.

17.已知|a|＝1，|b|＝，

(1)若a與b的夾角為，求|a+b|；

(2)若a－b與a垂直，求a與b的夾角.

解：(1)|a+b|²＝|a|²+2a·b+|b|²

＝1+2×1××cos+2

＝3+.

∴|a+b|＝.

(2)∵a－b與a垂直，∴(a－b)·a＝0.

∴|a|²－a·b＝0，∴a·b＝|a|².

設(shè)a與b的夾角為θ.

∴cosθ＝＝＝＝.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

所以向量a與b的夾角為.

16.a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，

(1)求證a與b不共線，并求a與b的夾角的余弦值；

(2)求c在a方向上的投影.

解：(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，

∴a與b不共線.

又a·b＝－1×4+1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

(2)∵a·c＝－1×5+1×(－2)＝－7，

∴c在a方向上的投影為＝＝－.

15.(2009·四川高考)設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合，對(duì)于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f(a).若映射f：V→V滿足：對(duì)所有a、b∈V及任意實(shí)數(shù)λ、μ都有f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b)，則f稱為平面M上的線性變換.現(xiàn)有下列命題：

①設(shè)f是平面M上的線性變換，a、b∈V，則f(a+b)＝f(a)+f(b)；

②若e是平面M上的單位向量，對(duì)a∈V，設(shè)f(a)＝a+e，則f是平面M上的線性變換；

③對(duì)a∈V，設(shè)f(a)＝－a，則f是平面M上的線性變換；

④設(shè)f是平面M上的線性變換，a∈V，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k均有f(ka)＝kf(a).

其中的真命題是　　(寫出所有真命題的編號(hào)).

解析：①當(dāng)λ＝μ＝1時(shí)，f(a+b)＝f(a)+f(b)成立.

②∵f(a)＝a+e，∴f(λa+μb)＝λa+μb+e.

λf(a)+μf(b)＝λ(a+e)+μ(b+e)＝λa+μb+(λ+μ)e.

f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b).

∴f不是平面M上的線性變換.

③∵f(a)＝－a，∴f(λa+μb)＝－λa－μb，

λf(a)＝－λa，μf(b)＝－μb.

∴f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b).

∴f是平面M上的線性變換.

④∵f是M上的線性變換，∴當(dāng)λ＝k，μ＝0時(shí)，有f(λa+μb)＝f(ka)＝kf(a)+0f(b)＝kf(a).

答案：①③④

14．已知||＝1，||＝，·＝0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°，設(shè)＝m+n (m、n∈R)，則＝________.

解析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．

則＝(1,0)，＝(0，)，

∴＝m+n＝(m，n)，

∴tan30°＝＝，∴＝3.

答案：3