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4．(2009·遼寧高考)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．70種 　　　　　B．80種　　　　　　 C．100種　　 　　　　D．140種

解析：分恰有2名男醫(yī)生和恰有1名男醫(yī)生兩類，從而組隊方案共有：C×C+C×C＝70種．

答案：A

3.某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．14 　　　　　　B．24　　　　　　　 C．28　 　　　　　D．48

解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，故不同的選派方案種數(shù)為

C·C+C·C＝2×4+1×6＝14.

法二：從4男2女中選4人共有C種選法，4名都是男生的選法有C種，故至少有1名女生的選派方案種數(shù)為C－C＝15－1＝14.

答案：A

2．有四個游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎，小明希望中獎，他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤為　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

解析：A游戲盤的中獎概率為，B游戲盤的中獎概率為，C游戲盤的中獎概率為，D游戲盤的中獎概率為 ，A游戲盤的中獎概率最大．

答案：A

1．把紅桃、黑桃、方塊、梅花四張紙牌隨機發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得一張，事件“甲分得梅花”與事件“乙分得梅花”是　　　 　　　　　　　　　　　(　)

A．對立事件　　　　　　　 　B．不可能事件

C．互斥但不對立事件　　 　　　　　D．以上答案均不對

解析：四張紙牌分發(fā)給四人，每人一張，甲和乙不可能同時分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是對立事件．

答案：C

21．已知函數(shù)f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.

(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為0，且a_n+1＝f′()－n²+1，已知a₁＝4，求證：a_n≥2n+2.

解：(1)因為f(1)＝a－b＝0，所以a＝b，

所以f(x)＝ax－－2lnx，

所以f′(x)＝a+－.

要使函數(shù)f(x)在定義域(0，+∞)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，

則在(0，+∞)內(nèi)f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.

當(dāng)a＝0時，則f′(x)＝－＜0在(0，+∞)內(nèi)恒成立；適合題意．

當(dāng)a＞0時，要使f′(x)＝a(－)²+a－≥0恒成立，則a－≥0，解得a≥1；

當(dāng)a＜0時，由f′(x)＝a+－＜0恒成立，適合題意．

所以a的取值范圍為(－∞，0]∪[1，+∞)．

(2)根據(jù)題意得：f′(1)＝0，即a+a－2＝0，得a＝1，

所以f′(x)＝(－1)²，

于是a_n+1＝f′()－n²+1＝(a_n－n)²－n²+1

＝a－2na_n+1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

當(dāng)n＝1時，a₁＝4＝2×1+2，

當(dāng)n＝2時，a₂＝9＞2×2+2；

假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N^*)時，不等式a_k＞2k+2成立，即a_k－2k＞2成立，

則當(dāng)n＝k+1時，a_k+1＝a_k(a_k－2k)+1＞(2k+2)×2+1＝4k+5＞2(k+1)+2，

所以當(dāng)n＝k+1，不等式也成立，

綜上得對所有n∈N^*時，都有a_n≥2n+2.

20．某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價值的奧運會標(biāo)志--“中國印·舞動的北京”和奧運會吉祥物--“福娃”．該廠所用的主要原料為A、B兩種貴金屬，已知生產(chǎn)一套奧運會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒．若奧運會標(biāo)志每套可獲利700元，奧運會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒．問該廠生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大？最大利潤為多少？

解：設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為x，y套，月利潤為z元，

由題意得

目標(biāo)函數(shù)為z＝700x+1200y.

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖：

目標(biāo)函數(shù)可變形為y＝－x+，

∵－＜－＜－，

∴當(dāng)y＝x+通過圖中的點A時，最大，z最大．解得點A坐標(biāo)為(20,24)．

將點A(20,24)代入z＝700x+1200y

得z_max＝700×20+1200×24＝42800元．

答：該廠生產(chǎn)奧運會標(biāo)志和奧運會吉祥物分別為20、24套時月利潤最大，最大利潤為42800元．

19．已知函數(shù)f(x)＝ax²+4(a為非零實數(shù))，設(shè)函數(shù)F(x)＝.

(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表達式；

(2)設(shè)mn＜0，m+n＞0，試判斷F(m)+F(n)能否大于0?

解：(1)由f(－2)＝0,4a+4＝0⇒a＝－1，

∴F(x)＝

(2)∵，∴m，n一正一負．

不妨設(shè)m＞0且n＜0，則m＞－n＞0，

F(m)+F(n)＝f(m)－f(n)＝am²+4－(an²+4)

＝a(m²－n²)，

當(dāng)a＞0時，F(m)+F(n)能大于0，

當(dāng)a＜0時，F(m)+F(n)不能大于0.

18． (2010·吉林模擬)滬杭高速公路全長166千米．假設(shè)某汽車從上海莘莊鎮(zhèn)進入該高速公路后以不低于60千米/時且不高于120千米/時的速度勻速行駛到杭州．已知該汽車每小時的運輸成本y(以元為單元)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為0.02；固定部分為200元．

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)汽車應(yīng)以多大速度行駛才能使全程運輸成本最��？最小運輸成本為多少元？

解：(1)依題意得：y＝(200+0.02v²)×

＝166(0.02v+)(60≤v≤120)．

(2)y＝166(0.02v+)≥166×2

＝664(元)

當(dāng)且僅當(dāng)0.02v＝即v＝100千米/時時取等號．

答：當(dāng)速度為100千米/時時，最小的運輸成本為664元．

17．若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1＝(n＝1,2，…)

(1)求證：a_n+1≠a_n；

(2)令a₁＝，寫出a₂、a₃、a₄、a₅的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a_n.

解：(1)證明：(采用反證法)．若a_n+1＝a_n，

即＝a_n，解得a_n＝0,1.

從而a_n＝a_n－1＝…＝a₂＝a₁＝0,1，與題設(shè)a₁＞0，a₁≠1相矛盾，

故a_n+1≠a_n成立．

(2)a₁＝、a₂＝、a₃＝、a₄＝、a₅＝，a_n＝，

n∈N^*.

16．已知f(x)＝－3x²+a(6－a)x+b.

(1)解關(guān)于a的不等式f(1)＞0；

(2)當(dāng)不等式f(x)＞0的解集為(－1,3)時，求實數(shù)a，b的值．

解：(1)f(1)＝－3+a(6－a)+b＝－a²+6a+b－3，

∵f(1)＞0，∴a²－6a+3－b＜0.

Δ＝24+4b，當(dāng)Δ≤0

即b≤－6時，f(1)＞0的解集為∅；

當(dāng)b＞－6時，3－＜a＜3+，

∴f(1)＞0的解集為{a|3－＜a＜3+}．

(2)∵不等式－3x²+a(6－a)x+b＞0的解集為(－1,3)，

∴解之，得