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13、直線和平面所成的角：(1)定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。(2)范圍：；(3)求法：作出直線在平面上的射影；(4)斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。如(1)在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，BD=1，則AD與平面AA₁C₁C所成的角為______(答：arcsin)；(2)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、C₁D₁的中點，則棱 A₁B₁ 與截面A₁ECF所成的角的余弦值是______(答：)；(3)是從點引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為______(答：)；(4)若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則sinθ的值為______(答：)。

12、三垂線定理及逆定理：(1)定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。(2)逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角。

11、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：(1)判定：①如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。②兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。(2)性質(zhì)：①如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。②如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。如(1)如果命題“若∥z，則”不成立，那么字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_____(答：x、y是直線，z是平面)；(2)已知a，b，c是直線，α、β是平面，下列條件中能得出直線a⊥平面α的是　 A、a⊥b，a⊥c其中bα，cα　B、a⊥b ，b∥α　C、α⊥β，a∥β　 D、a∥b，b⊥α(答：D)；(3)AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求證：BD⊥平面AEF。

10、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：(1)判定：①判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行；②面面平行的性質(zhì)：若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個平面平行。(2)性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì)。如(1)α、β表示平面，a、b表示直線，則a∥α的一個充分不必要條件是　A、α⊥β，a⊥β　　　B、α∩β＝b，且a∥b　C、a∥b且b∥α　D、α∥β且aβ(答：D)；(2)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點N在BD上，點M在B₁C上，且CM=DN，求證：MN∥面AA₁B₁B。

9、直線與平面的位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)；(2)直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；(3)直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。如(1)下列命題中，正確的是 A、若直線平行于平面內(nèi)的一條直線b , 則 // 　B、若直線垂直于平面的斜線b在平面內(nèi)的射影，則⊥b　C、若直線垂直于平面,直線b是平面的斜線，則與b是異面直線　D、若一個棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐(答：D)；(2)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在側(cè)面BCC₁B₁及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD₁，則動點P的軌跡是___________(答：線段B₁C)。

8、兩直線垂直的判定：(1)轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(2)三垂線定理及逆定理。

7、兩直線平行的判定：(1)公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；(2)線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；(3)面面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行；(4)線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條，因為空間中，垂直不一定相交。如(1)ABCD是矩形，沿對角線AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求證：BD是異面直線AD與BC的公垂線；(2)如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是異面直線AC與A₁D的公垂線，則由正方體的八個頂點所連接的直線中，與EF平行的直線有____條(答：1)；

5、異面直線所成角的求法：(1)范圍：；(2)求法：計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移(中點平移，頂點平移以及補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系)轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。如(1)正四棱錐的所有棱長相等，是的中點，那么異面直線與所成的角的余弦值等于____(答：)；(2)在正方體AC₁中，M是側(cè)棱DD₁的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱A₁B₁上的一點，則OP與AM所成的角的大小為____(答：90°)；(3)已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一點，則過P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有____條(答：2)；(4)若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是____(答：)；

4、異面直線的判定：反證法。 如(1)“a、b為異面直線”是指：①a∩b＝Φ，但a不平行于b；②a面α，b面β且a∩b＝Φ；③a面α，b面β且α∩β＝Φ；④a面α，b面α��；⑤不存在平面α，能使a面α且b面α成立。上述結(jié)論中，正確的是_____(答：①⑤)；(2)在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點，設(shè)BC+AD=2a，則MN與a的大小關(guān)系是_____(答：MN<a)；(3)若E、F、G、H順次為空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中點，且EG=3，F(xiàn)H=4，則AC²+BD²= 　　　　　　_____(答：50)；(4)如果a、b是異面直線，P是不在a、b上的任意一點，下列四個結(jié)論：①過點P一定可以作直線與a、b都相交；�、谶^點P一定可以作直線與a、b都垂直；③過點P一定可以作平面α與a、b都平行；�、苓^點P一定可以作直線與a、b都平行。其中正確的結(jié)論是_____(答：②)；(5)如果兩條異面直線稱作一對，那么正方體的十二條棱中異面直線的對數(shù)為_____(答：24)；(6)已知平面求證：b、c是異面直線．