79.(08江蘇鎮(zhèn)江28題)(本小題滿分8分)探索研究
如圖，在直角坐標系
中，點
為函數(shù)
在第一象限內的圖象上的任一點，點
的坐標為
，直線
過
且與
軸平行，過作
軸的平行線分別交軸，于
，連結
交軸于
，直線
交軸于
．
(1)求證：點為線段的中點；
(2)求證：①四邊形
為平行四邊形；
②平行四邊形為菱形；
(3)除點外，直線與拋物線有無其它公共點？并說明理由．
(08江蘇鎮(zhèn)江28題解析)(1)法一：由題可知
．
，
，
．························································································· (1分)
，即為的中點．····································································· (2分)
法二：
，，
．·························································· (1分)
又
軸，
．··············································································· (2分)
(2)①由(1)可知
，
，
，
，
．·························································································· (3分)
，
又
，
四邊形為平行四邊形．···················································· (4分)
②設
，
軸，則
，則
．
過作
軸，垂足為
，在
中，
．
平行四邊形為菱形．··············································································· (6分)
(3)設直線
為
，由
，得
，代入得：
直線為
．························ (7分)
設直線與拋物線的公共點為
，代入直線關系式得：
，
，解得
．得公共點為
．
所以直線與拋物線只有一個公共點．············································· (8分)
80(08黑龍江齊齊哈爾28題)(本小題滿分10分)
如圖，在平面直角坐標系中，點
，點
分別在軸，軸的正半軸上，且滿足
．
(1)求點，點
的坐標．
(2)若點從
點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線
運動，連結
．設
的面積為
，點的運動時間為
秒，求與的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍．
(3)在(2)的條件下，是否存在點，使以點
為頂點的三角形與
相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(08黑龍江齊齊哈爾28題解析)解：(1)
，
··················································································· (1分)
，
點，點分別在軸，軸的正半軸上
······························································································· (2分)
(2)求得
························································································· (3分)
(每個解析式各1分，兩個取值范圍共1分)························································· (6分)
(3)
；
；
；
(每個1分，計4分)
···························································································································· (10分)
81(08海南省卷24題)(本題滿分14分)如圖13，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2 與x軸交于點C，直線y=-2x-1經過拋物線上一點B(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交于點D、E.
(1)求m的值及該拋物線對應的函數(shù)關系式；(2)求證：① CB=CE ；② D是BE的中點；
(3)若P(x，y)是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P,使得PB=PE,若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.
(08海南省卷24題解析)(1)∵ 點B(-2,m)在直線y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………(2分)
∴ B(-2,3)
∵ 拋物線經過原點O和點A，對稱軸為x=2，
∴ 點A的坐標為(4,0) .
設所求的拋物線對應函數(shù)關系式為y=a(x-0)(x-4). ……………………(3分)
將點B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ 
.
∴ 所求的拋物線對應的函數(shù)關系式為
，即
. (6分)
(2)①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點坐標分別為D(0,-1) E(2,-5).
過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，
則BG⊥直線x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=
.
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5. ……………………(9分)
②過點E作EH∥x軸，交y軸于H，
則點H的坐標為H(0,-5).
又點F、D的坐標為F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE (SAS)，
∴ BD=DE.
即D是BE的中點. ………………………………(11分)
(3) 存在. ………………………………(12分)
由于PB=PE，∴ 點P在直線CD上，
∴ 符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.
設直線CD對應的函數(shù)關系式為y=kx+b.
將D(0,-1) C(2,0)代入，得
. 解得 
.
∴ 直線CD對應的函數(shù)關系式為y=
x-1.
∵ 動點P的坐標為(x，
)，
∴ x-1=.
………………………………(13分)
解得 
，
.
∴
，
.
∴ 符合條件的點P的坐標為(
，
)或(
，
).…(14分)
71.(08湖北十堰25題)
已知拋物線
與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C．
⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標；
⑵當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；
⑶坐標平面內是否存在點
，使得以點M和⑵中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
(08湖北十堰25題解析)解：⑴對稱軸是直線：
，點B的坐標是(3,0)． ……2分
說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分．
⑵如圖，連接PC，∵點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B (3,0)，
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝
………………………………3分
當
時，
∴
………………………………4分
∴
………………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如圖，連接AC、BC．設點M的坐標為
．
①當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，
．
∴x＝±4．∴點M的坐標為
．…9分
說明：少求一個點的坐標扣1分．
②當以AB為對角線時，點M在x軸下方．
過M作MN⊥AB于N，則∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝
．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴點M的坐標為
．
……………………………12分
說明：求點M的坐標時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，
然后求交點M的坐標的方法均可，請參照給分．
綜上所述，坐標平面內存在點，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形．其坐標為
．
說明：①綜上所述不寫不扣分；②如果開頭“存在”二字沒寫，但最后解答全部正確，不扣分。
72(08湖南株洲23題)如圖(1)，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1，-2)，點B的坐標為(3，-1)，二次函數(shù)
的圖象為
.
(1)平移拋物線，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的拋物線的一個解析式(任寫一個即可).
(2)平移拋物線，使平移后的拋物線過A、B兩點，記拋物線為
，如圖(2)，求拋物線的函數(shù)解析式及頂點C的坐標.
(3)設P為y軸上一點，且
，求點P的坐標.
(4)請在圖(2)上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點Q，使
為等腰三角形.
若存在，請判斷點Q共有幾個可能的位置(保留作圖痕跡)；若不存在，請說明理由.
(08湖南株洲23題解析)
(1)
等 (滿足條件即可)
……1分
(2)設的解析式為
，聯(lián)立方程組
，
解得：
，則的解析式為
……3分
點C的坐標為(
)
……4分
(3)如答圖23-1，過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則
，
，
得：
.
……5分 延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為
，則點G的坐標為(0，
)，設點P的坐標為(0，
)
①當點P位于點G的下方時，
，連結AP、BP，則
，又
，得
，點P的坐標為(0，
).
…… 6分
②當點P位于點G的上方時，
，同理
，點P的坐標為(0，
).
綜上所述所求點P的坐標為(0，
)或(0，
)
…… 7分
(4) 作圖痕跡如答圖23-2所示. 由圖可知，滿足條件的點有
、
、
、
，共4個可能的位置. …… 10分
73(08四川達州23題)如圖，將置于平面直角坐標系中，其中點
為坐標原點，點的坐標為
，
．
(1)若的外接圓與軸交于點
，求點坐標．
(2)若點的坐標為
，試猜想過
的直線與的外接圓的位置關系，并加以說明．
(3)二次函數(shù)的圖象經過點和且頂點在圓上，
求此函數(shù)的解析式．
(08四川達州23題解析)解：(1)連結AD，則∠ADO＝∠B＝600
在Rt△ADO中，∠ADO＝600
所以OD＝OA÷
＝3÷＝
|
)
(2)猜想是CD與圓相切
∵ ∠AOD是直角，所以AD是圓的直徑
|
=, ∠CDO＝300
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD
∴ CD切外接圓于點D
(3)依題意可設二次函數(shù)的解析式為 ：
y=α(x－0)(x－3)
由此得頂點坐標的橫坐標為：x=
=
;
即頂點在OA的垂直平分線上，作OA的垂直平分線EF，則得∠EFA＝
∠B＝300
得到EF＝EA＝
可得一個頂點坐標為(，)
同理可得另一個頂點坐標為(，
)
分別將兩頂點代入y=α(x－0)(x－3)可解得α的值分別為
，
則得到二次函數(shù)的解析式是y=x(x－3)或y= x(x－3)
74(08安徽蕪湖24題)如圖，已知 
，
，現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側放大，B點的對應點為C．
(1) 求C點坐標及直線BC的解析式;
(2) 一拋物線經過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;
(3)
現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為
的點P．
解
(08安徽蕪湖24題解析)解： (1)
過C點向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質可知：
△ABO∽△ACD， ∴
．
由已知，可知： 
．
∴
．∴C點坐標為
．·················· 2分
直線BC的解析是為： 
化簡得： 
·················································· 3分
(2)設拋物線解析式為
，由題意得：
，
解得： 
,
∴解得拋物線解析式為
或
．
又∵的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．
∴滿足條件的拋物線解析式為
······························································· 5分
(準確畫出函數(shù)圖象)········································································· 7分
(3) 將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P，設P到 直線AB的距離為h，
故P點應在與直線AB平行，且相距
的上下兩條平行直線和上．······················ 8分
由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為．
如圖，設與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，
在Rt△BEF中
，
，
∴
．∴可以求得直線與y軸交點坐標為
·············································· 10分
同理可求得直線與y軸交點坐標為
································································· 11分
∴兩直線解析式
；
．
根據(jù)題意列出方程組： ⑴
；⑵
∴解得：
；
；
；
∴滿足條件的點P有四個，它們分別是
，
，
，
········ 15分
75(08湖北仙桃等4市25題)如圖，直角梯形
中，
∥
,為坐標原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點坐標為(2，2)，∠
= 60°，
于點.動點從點出發(fā)，沿線段
向點運動，動點
從點出發(fā)，沿線段
向點運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度.設點運動的時間為秒.
(1)求
的長；
(2)若
的面積為(平方單位). 求與之間的函數(shù)關系式.并求為何值時，的面積最大，最大值是多少？
(3)設
與
交于點.①當△
為等腰三角形時，求(2)中的值.
②探究線段
長度的最大值是多少，直接寫出結論.
(08湖北仙桃等4市25題解析)解：(1)∵∥
∴ 
在
中，
,
∴
， 
∴
而
∴
為等邊三角形
∴
…(3分)
(2)∵
∴
∴
=
(
)…………………………(6分)
即
∴當
時，
………………………………………(7分)
(3)①若
為等腰三角形，則：
(i)若
，
∴∥
∴
即
解得：
此時
………………………………(8分)
(ii)若
，
∴
過點作
，垂足為
，則有：
即
解得：
此時
……………………………………(9分)
(iii)若
，
∴∥
此時在上，不滿足題意.……………………………………………(10分)
②線段長的最大值為……………………………………………………(12分)
76(08湖南常德26題)如圖9，在直線上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列問題：
(1)旋轉：將△ABC繞點C順時針方向旋轉900，請你在圖中作出旋轉后的對應圖形
△A1B1C，并求出AB1的長度；
(2)翻折：將△A1B1C沿過點B1且與直線垂直的直線翻折，得到翻折后的對應圖形
△A2B1C1，試判定四邊形A2B1DE的形狀？并說明理由；
(3)平移：將△A2B1C1沿直線向右平移至△A3B2C2，若設平移的距離為x，△A3B2C2與直角梯形重疊部分的面積為y，當y等于△ABC面積的一半時,x的值是多少？
(08湖南常德26題解析)
解：(1)在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=
，
∴AB1=AC+C B1=AC+CB=
.……………………………………2分
(2)四邊形A2B1DE為平行四邊形.理由如下：
∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE
又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故結論成立.………………4分
(3)由題意可知：
S△ABC=
，
①
當
或
時，y＝0
此時重疊部分的面積不會等于△ABC的面積的一半……………5分
②當
時，直角邊B2C2與等腰梯形的下底邊DG重疊的長度為DC2=C1C2-DC1=(x－2)㎝，則y＝
,
當y= 
S△ABC= 時，即 
，
解得
(舍)或
.
∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.
③當
時，△A3B2C2完全與等腰梯形重疊，即
……………7分
④當
時,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-
則y＝
,
當y= S△ABC= 時，即 
，
解得
,或
(舍去).
∴當時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………9分
由以上討論知,當或時, 重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………10分
77(08寧夏區(qū)卷26題)如圖，在邊長為4的正方形
中，點在上從向運動，連接
交
于點．
(1)試證明：無論點運動到上何處時，都有△
≌△
；
(2)當點在上運動到什么位置時，△的面積是正方形面積的
；
(3)若點從點運動到點，再繼續(xù)在
上運動到點，在整個運動過程中，當點 運動到什么位置時，△恰為等腰三角形．
(08寧夏區(qū)卷26題解析)(1)證明：在正方形中，
無論點運動到上何處時，都有
=
∠
=∠
=
∴△≌△·············································· 2分
(2)解法一：△的面積恰好是正方形ABCD面積的時，
過點Q作⊥于,
⊥于
，則
=
=
=
∴=
·········································································································· 4分
由△
∽△
得
解得
∴時，△的面積是正方形面積的
······························· 6分
解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點作⊥軸于點，⊥軸于點．
== ∴=
∵點在正方形對角線上 ∴點的坐標為
∴ 過點(0，4)，(
兩點的函數(shù)關系式為：
當
時，
∴點的坐標為(2，0)
∴時，△的面積是正方形面積的． ······························· 6分
(3)若△是等腰三角形，則有 
=
或
=
或=
①當點運動到與點重合時，由四邊形是正方形知 =
此時△是等腰三角形
②當點與點重合時，點與點也重合，
此時=, △是等腰三角形 ································· 8分
③解法一：如圖，設點在邊上運動到
時，有=
∵ ∥ ∴∠=∠
又∵∠
=∠
∠=∠
∴∠=∠
∴ 
=
=
∵=
= =4
∴
即當
時，△是等腰三角形 ····································· 10分
解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標系，設點在上運動到
時，有=．
過點作⊥軸于點，⊥軸于點,則
在
△
中，
，∠
=45°
∴試題詳情
70.(08河北省卷26題)如圖15，在
中，
，
，
，
分別是
的中點．點從點出發(fā)沿折線
以每秒7個單位長的速度勻速運動；點從點出發(fā)沿
方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點作射線
，交折線
于點．點
同時出發(fā)，當點繞行一周回到點時停止運動，點也隨之停止．設點運動的時間是秒(
)．
(1)
兩點間的距離是
；
(2)射線
能否把四邊形
分成面積相等的兩部分？若能，求出的值．若不能，說明理由；
(3)當點運動到折線
上，且點又恰好落在射線上時，求的值；
(4)連結
，當
時，請直接寫出的值．
(08河北省卷26題解析)解：(1)25．
(2)能．
如圖5，連結
，過點作
于點，
由四邊形為矩形，可知過的中點時，
把矩形分為面積相等的兩部分
(注：可利用全等三角形借助割補法或用中心對稱等方法說明)，
此時
．由
，
，得
．
故
．
(3)①當點在
上
時，如圖6．
，
，
由
，得
．
．
②當點在
上
時，如圖7．
已知，從而
，
由
，，得
．
解得
．
(4)如圖8，
；如圖9，
．
(注：判斷可分為以下幾種情形：當
時，點下行，點上行，可知其中存在的時刻，如圖8；此后，點繼續(xù)上行到點時，
，而點卻在下行到點再沿上行，發(fā)現(xiàn)點在上運動時不存在；當
時，點
均在上，也不存在；由于點比點先到達點并繼續(xù)沿
下行，所以在
中存在的時刻，如圖9；當
時，點均在上，不存在)
69.(08廣東中山22題)將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊
AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連結CD．
(1)填空：如圖9，AC= ，BD= ；四邊形ABCD是 梯形.
(2)請寫出圖9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)如圖10，若以AB所在直線為軸，過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標系，保持ΔABD不動，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點P，設AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值值范圍.
(08廣東中山22題解析)解：(1)
，，…………………………1分
等腰；…………………………2分
(2)共有9對相似三角形.(寫對3－5對得1分，寫對6－8對得2分，寫對9對得3分)
①△DCE、△ABE與△ACD或△BDC兩兩相似，分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5對)
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2對)
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2對)
所以，一共有9對相似三角形.…………………………………………5分
(3)由題意知，F(xiàn)P∥AE，
∴ ∠1＝∠PFB，
又∵ ∠1＝∠2＝30°，
∴ ∠PFB＝∠2＝30°,
∴ FP＝BP.…………………………6分
過點P作PK⊥FB于點K，則
.
∵ AF＝t，AB＝8，
∴ FB＝8－t，
.
在Rt△BPK中，
. ……………………7分
∴ △FBP的面積
，
∴ S與t之間的函數(shù)關系式為：
，或
. …………………………………8分
t的取值范圍為：
. …………………………………………………………9分
68.(08浙江杭州24) 在直角坐標系xOy中，設點A(0，t)，點Q(t，b)。平移二次函數(shù)
的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：①頂點為Q；②與x軸相交于B，C兩點(∣OB∣<∣OC∣)，連結A，B。
(1)是否存在這樣的拋物線F，使得
？請你作出判斷，并說明理由；
(2)如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求拋物線F對應的二次函數(shù)的解析式。
(08浙江杭州24題解析)∵ 平移的圖象得到的拋物線的頂點為,
∴ 拋物線對應的解析式為:
.
--- 2分
∵ 拋物線與x軸有兩個交點，∴
.
--- 1分
令, 得
，
,
∴ 
)(
)|
,
即
, 所以當
時, 存在拋物線使得
.-- 2分
(2)
∵
, ∴ 
,
得: 
,
解得
.
--- 1分
在
中,
1)
當
時,由 
, 得
,
當
時, 由
, 解得
,
此時, 二次函數(shù)解析式為
;
--- 2分
當
時, 由
, 解得
,
此時，二次函數(shù)解析式為
+
+
.
--- 2分
2)
當
時, 由 , 將
代, 可得
, 
,
(也可由
代，
代得到)
所以二次函數(shù)解析式為 
+ –
或
. --- 2分.
65.(08吉林長春27題)(12分)已知兩個關于的二次函數(shù)
與當
時，
；且二次函數(shù)
的圖象的對稱軸是直
線
．
(1)求
的值；
(2)求函數(shù)
的表達式；
(3)在同一直角坐標系內，問函數(shù)的圖象與的圖象是否有交點？請說明理由．
(08吉林長春27題解析)[解] (1)由
得
．
又因為當時，，即
，
解得
，或
(舍去)，故的值為
．
(2)由
，得
，
所以函數(shù)的圖象的對稱軸為
，
于是，有
，解得
，
所以
．
(3)由
，得函數(shù)的圖象為拋物線，其開口向下，頂點坐標為
；
由
，得函數(shù)的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為
；
故在同一直角坐標系內，函數(shù)的圖象與的圖象沒有交點．
66(08江蘇鹽城28題)(本題滿分12分)
如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
解答下列問題：
(1)如果AB=AC，∠BAC=90º．
①當點D在線段BC上時(與點B不重合)，如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為 ▲ ，數(shù)量關系為 ▲ ．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點D在線段BC上運動．
試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC(點C、F重合除外)？畫出相應圖形，并說明理由．(畫圖不寫作法)
(3)若AC＝
，BC=3，在(2)的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．
(08江蘇鹽城28題解析)(1)①CF與BD位置關系是 垂 直、數(shù)量關系是相 等；
②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．
由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD
(2)畫圖正確
當∠BCA=45º時，CF⊥BD(如圖丁)．
理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG
可證：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD
(3)當具備∠BCA=45º時，
過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，(如圖戊)
∵DE與CF交于點P時， ∴此時點D位于線段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．設CD=x ，∴ DQ=4-x，
容易說明△AQD∽△DCP，∴
， ∴
，
．
∵0＜x≤3 ∴當x=2時，CP有最大值1．
67(08山東濟南24題)(本小題滿分9分)
已知：拋物線
(a≠0)，頂點C (1，
)，與x軸交于A、B兩點，
．
(1)求這條拋物線的解析式．
(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A、D、B、E，點P為線段AB上一個動點(P與A、B兩點不重合)，過點P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請判斷
是否為定值? 若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．
(3)在(2)的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FG⊥EP ，FG分別與邊AE、BE相交于點F、G(F與A、E不重合，G與E、B不重合)，請判斷
是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
(08山東濟南24題解析)解：(1)設拋物線的解析式為
.......... 1分
將A(－1，0)代入: 
∴ 
..................................... 2分
∴ 拋物線的解析式為
，即：
......................... 3分
(2)是定值，
........................................................................... 4分
∵ AB為直徑，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE
∴ △APM∽△ABE，∴
�、�
同理: 
② .................................................................................. 5分
①
+ ②:
.................................................................. 6分
(3)∵ 直線EC為拋物線對稱軸，∴ EC垂直平分AB
∴ EA=EB
∵ ∠AEB=90°
∴ △AEB為等腰直角三角形．
∴ ∠EAB=∠EBA=45° ................... 7分
如圖，過點P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形，
∴PH=ME且PH∥ME
在△APM和△PBH中
∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°
∴ PH=BH
且△APM∽△PBH
∴
∴
①.................. 8分
在△MEP和△EGF中，
∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP
∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF
∴
�、�
由①、②知：.................................................................................. 9分
(本題若按分類證明，只要合理，可給滿分)
65、(08湖南永州25題)(10分)如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a＞0)與坐標軸交于點A、B、C且OA＝1，OB＝OC＝3 ．
(1)求此二次函數(shù)的解析式．
(2)寫出頂點坐標和對稱軸方程．
(3)點M、N在y＝ax2+bx+c的圖像上(點N在點M的右邊)，且MN∥x軸，求以MN為直徑且與x軸相切的圓的半徑．
(08湖南永州25題解析)(1)依題意
分別代入
1分
解方程組得所求解析式為
······································································ 4分
(2)
··············································································· 5分
頂點坐標
，對稱軸
················································································· 7分
(3)設圓半徑為
，當
在軸下方時，
點坐標為
····························· 8分
把點代入得
································································· 9分
同理可得另一種情形
圓的半徑為
或
10分
64、(08湖南湘潭26題)(本題滿分10分)
已知拋物線經過點A(5，0)、B(6，-6)和原點.
(1)求拋物線的函數(shù)關系式；
(2)若過點B的直線
與拋物線相交于點C(2，m)，請求出
OBC的面積S的值.
(3)過點C作平行于x軸的直線交y軸于點D，在拋物線對稱軸右側位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E. 直線PF與直線DC及兩坐標軸圍成矩形OFED(如圖)，是否存在點P，使得OCD與CPE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
(08湖南湘潭26題解析)解：(1)由題意得：
2分
解得
·················································· 3分
故拋物線的函數(shù)關系式為
·············· 4分
(2)
在拋物線上，
·· 5分
點坐標為(2，6)，
、C在直線
上
解得
直線BC的解析式為
······································································· 6分
設BC與x軸交于點G，則G的坐標為(4，0)
·································································· 7分
(3)存在P，使得
∽
·············································································· 8分
設P
，
故
若要∽，則要
或
即
或
解得
或
又
在拋物線上，
或
解得
或
故P點坐標為
和
········································································· 10分
(只寫出一個點的坐標記9分)
63、(08湖南郴州28題)(本題滿分10分)
如圖13，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，且與軸、軸分別相交于
兩點．
(1)求出直線AB的函數(shù)解析式；
(2)若有一拋物線的對稱軸平行于軸且經過點M，頂點C在⊙M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數(shù)解析式；
(3)設(2)中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得
？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
(08湖南郴州28題解析)解：(1)設AB的函數(shù)表達式為
∵
∴
∴
∴直線AB的函數(shù)表達式為
．··································································· 3分
(2)設拋物線的對稱軸與⊙M相交于一點，依題意知這一點就是拋物線的頂點C。又設對稱軸與軸相交于點N，在直角三角形AOB中，
因為⊙M經過O、A、B三點，且
⊙M的直徑，∴半徑MA=5，∴N為AO的中點AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C點的坐標為(-4，2)．
設所求的拋物線為
則
∴所求拋物線為
············································································· 7分
(3)令
得D、E兩點的坐標為D(-6，0)、E(-2，0)，所以DE=4．
又AC=
直角三角形的面積
假設拋物線上存在點
．
當
故滿足條件的存在．它們是
． ························· 10分
62.(08湖南郴州27題)(本題滿分10分)如圖10，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個動點(不與B、C重合)．過E作直線AB的垂線，垂足為F． FE與DC的延長線相交于點G，連結DE，DF．．
(1) 求證：ΔBEF ∽ΔCEG．
(2) 當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關系？并說明你的理由．
(3)設BE＝x，△DEF的面積為 y，請你求出y和x之間的函數(shù)關系式，并求出當x為何值時,y有最大值，最大值是多少？
(08湖南郴州27題解析)(1) 因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以
1分
所以
所以
···························································································· 3分
(2)
的周長之和為定值．····························································· 4分
理由一：
過點C作FG的平行線交直線AB于H ，
因為GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周長之和等于BC+CH+BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC+CH+BH＝24 ···························································································· 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周長是
， △ECG的周長是
又BE+CE＝10，因此
的周長之和是24．·········································· 6分
(3)設BE＝x，則
所以
···································· 8分
配方得：
．
所以，當
時，y有最大值．············································································· 9分
最大值為
．··········································································································· 10分
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