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21．(本小題滿(mǎn)分14分)(2010·長(zhǎng)沙模擬)長(zhǎng)沙市某棚戶(hù)區(qū)改造

建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建

筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內(nèi)接四邊形

ABCD是原棚戶(hù)建筑用地，測(cè)量可知邊界AB＝AD＝4萬(wàn)米，

BC＝6萬(wàn)米，CD＝2萬(wàn)米．

(1)請(qǐng)計(jì)算原棚戶(hù)區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

(2)因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整，為了提高棚戶(hù)區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P；使得棚戶(hù)區(qū)改造的新建筑用　 地APCD的面積最大，并求最大值．

解：(1)因?yàn)樗倪呅?i>ABCD內(nèi)接于圓，

所以∠ABC+∠ADC＝180°，連接AC，由余弦定理：

AC²＝4²+6²－2×4×6×cos∠ABC

＝4²+2²－2×2×4cos∠ADC.

所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈(0，π)，

故∠ABC＝60°.

S_{四邊形ABCD}＝×4×6×sin60°+×2×4×sin120°

＝8(萬(wàn)平方米)．

在△ABC中，由余弦定理：

AC²＝AB²+BC²－2AB·BC·cos∠ABC

＝16+36－2×4×6×.

AC＝2.

由正弦定理＝＝2R，

∴2R＝＝＝，

∴R＝(萬(wàn)米)．

(2)∵S_{四邊形APCD}＝S_△ADC+S_△APC，

又S_△ADC＝AD·CD·sin120°＝2，

設(shè)AP＝x，CP＝y.

則S_△APC＝xy·sin60°＝xy.

又由余弦定理AC²＝x²+y²－2xycos60°

＝x²+y²－xy＝28.

∴x²+y²－xy≥2xy－xy＝xy.

∴xy≤28，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)取等號(hào)

∴S_{四邊形APCD}＝2+xy≤2+×28＝9，

∴最大面積為9萬(wàn)平方米．

20．(本小題滿(mǎn)分13分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0)的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：

x
y	-1	1	3	1	-1	1	3

(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，若函數(shù)y＝f(kx)(k＞0)周期為，當(dāng)x∈[0，]時(shí)，方程f(kx)＝m恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

解：(1)設(shè)f(x)的最小正周期為T，得

T＝ －(－)＝2π，

由T＝，得ω＝1.

又

令ω·+φ＝，即+φ＝，

解得φ＝－，

∴f(x)＝2sin(x－)+1.

(2)∵函數(shù)y＝f(kx)＝2sin(kx－)+1的周期為，

又k＞0，∴k＝3.

令t＝3x－，

∵x∈[0，]，

∴t∈[－，]

如圖sint＝s在[－，]上有兩個(gè)不同的解的充要條件是s∈[，1)，

∴方程f(kx)＝m在x∈[0，]時(shí)恰好有兩個(gè)不同的解的充要條件是m∈[+1,3)，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[+1,3)．

19.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，點(diǎn)A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，A，B點(diǎn)分別在第一

、二象限，點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB是正三角形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)

為(，)，記∠COA＝α.

(1)求的值；

(2)求|BC|²的值.

解：(1)∵A的坐標(biāo)為(，)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，

sinα＝，cosα＝，

∴＝＝.

(2)∵△AOB為正三角形，∴∠AOB＝60°.

∴cos∠COB＝cos(α+60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°

＝×－×＝，

∴|BC|²＝|OC|²+|OB|²－2|OC|·|OB|cos∠COB

＝1+1－2×＝.

18.(本小題滿(mǎn)分12分)在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且sinA＝，sinB＝.

(1)求A+B的值；

(2)若a－b＝－1，求a、b、c的值.

解：(1)∵A、B為銳角，sinA＝，sinB＝，

∴cosA＝＝，

cosB＝＝，

∴cos(A+B)＝cosAcosB－sinAsinB

＝×－×＝.

∵0<A+B<π，∴A+B＝.

(2)由(1)知C＝，∴sinC＝.

由正弦定理＝＝得

a＝b＝c，即a＝b，c＝b，

∵a－b＝－1，∴b－b＝－1，∴b＝1，

∴a＝，c＝.

17.(本小題滿(mǎn)分12分)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，tanA＝，cosB＝.

(1)求角C；

(2)若△ABC的最短邊長(zhǎng)是，求最長(zhǎng)邊的長(zhǎng).

解：(1)∵tanA＝，

∴A為銳角，則cosA＝，sinA＝.

又cosB＝，

∴B為銳角，則sinB＝，

∴cosC＝－cos(A+B)＝－cosAcosB+sinAsinB

＝－×+×＝－.

又C∈(0，π)，∴C＝π.

(2)∵sinA＝＞sinB＝，

∴A＞B，即a＞b，

∴b最小，c最大，

由正弦定理得＝，

得c＝·b＝·＝5.

16.(本小題滿(mǎn)分12分)已知＝(cos+sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).

　(1)設(shè)f(x)＝ ·，求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)有不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂∈，且f(x₁)＝f(x₂)＝1，求x₁+x₂的值.

解：(1)由f(x)＝·得

f(x)＝(cos+sin)·(cos－sin)+(－sin)·2cos

＝cos²－sin²－2sincos

＝cosx－sinx

＝cos(x+)，

所以f(x)的最小正周期T＝2π.

又由2kπ≤x+≤π+2kπ，k∈Z，

得－+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[－+2kπ，+2kπ](k∈Z).

(2)由f(x)＝1得cos(x+)＝1，故cos(x+)＝.

又x∈，于是有x+∈，得x₁＝0，x₂＝－，

所以x₁+x₂＝－.

15.下面有五個(gè)命題：

①函數(shù)y＝sin⁴x－cos⁴x的最小正周期是π；

②終邊在y軸上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝sinx的圖象和函數(shù)y＝x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；

④把函數(shù)y＝3sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位得到y＝3sin2x的圖象；

⑤函數(shù)y＝sin(x－)在[0，π]上是減函數(shù).

其中真命題的序號(hào)是　　.

解析：①y＝sin²x－cos²x＝－cos2x，故最小正周期為π，①正確；

②k＝0時(shí)，α＝0，則角α終邊在x軸上，故②錯(cuò)；

③由y＝sinx在(0,0)處切線(xiàn)為y＝x，所以y＝sinx與y＝x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)；

④y＝3sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位得到

y＝3sin[2(x－)+]＝3sin2x，故④正確；

⑤y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上為增函數(shù)，故⑤錯(cuò).

綜上，①④為真命題.

答案：①④

14.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且acosB－bcosA＝c.則的值為　　.

解析：由acosB－bcosA＝c及正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A+B)，即5(sinAcosB－sinBcosA)＝3(sinAcosB+sinBcosA)，即sinAcosB＝4sinBcosA，因此tanA＝4tanB，所以＝4.

答案：4

13.已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx+φ)的圖象如下圖所示，則f()＝　　.

解析：由圖象知，函數(shù)的周期為×T＝π，

∴T＝.

∵f()＝0，

∴f()＝f(+)

＝f(+)＝－f()＝0.

答案：0

12.已知扇形內(nèi)切圓半徑與扇形半徑之比為1∶3，則內(nèi)切圓面積與扇形面積之比為　　.

解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則扇形的半徑為3r，計(jì)算可

得扇形中心角為，

故S_{內(nèi)切圓}∶S_扇形＝πr²∶·3r·(·3r)＝2∶3.

答案：2∶3