新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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二、拓展性作業(yè)
2. 如圖1-2-15，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，延長AE至點G，使AE=GE，連接CG，CF．
(1)求證：△AOE≌△COF；
(2)只需添加一個條件，即______，可使四邊形CGEF為矩形，請加以證明．
答案：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．∵E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴OE=1/2OB，OF=1/2OD，∴OE=OF．在△AOE和△COF中，OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△AOE≌△COF(SAS)．
(2)AC=BD
證明：由(1)得△AOE≌△COF，∴AE=CF，∠OAE=∠OCF，∴AE//CF．∵AE=GE，∴GE=CF，∴四邊形CGEF是平行四邊形．∵AC=BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵E是OB中點，G是AE中點，∴EG=BE=OE，∴∠EGB=∠EBG，∠EOG=∠EGO．∵∠EGB + ∠EBG + ∠EOG + ∠EGO=180°，∴2∠EGB + 2∠EGO=180°，∴∠BGO=90°，∴∠CGF=90°，∴平行四邊形CGEF是矩形．
3. 如圖1-2-16，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EF//BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點E，F(xiàn)．
(1)若CE=4，CF=3，求OC的長．
(2)連接AE，AF，問當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？請說明理由．
答案：(1)∵EF//BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF．∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF．∵∠ECF=∠OCE + ∠OCF=1/2∠ACB + 1/2∠ACD=90°，CE=4，CF=3，∴EF=√(42 + 32)=5，∴OC=OE=1/2EF=2.5．
(2)當(dāng)點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．理由：∵O是AC中點，∴OA=OC．∵OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形．
一、基礎(chǔ)性作業(yè)
1. 有下列四個條件：①四邊形的對角線互相平分；②四邊形的對角線互相垂直；③平行四邊形的對角線相等；④平行四邊形的一個角是直角，其中能作為矩形的判定條件的是( ).
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
答案：B
解析：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不是矩形判定條件；②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不是矩形；③平行四邊形對角線相等則是矩形；④平行四邊形一個角是直角則是矩形，故③④正確，選B．
