新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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2. 如圖1-3-11，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn).
(1)求證：BM=CM.
(2)當(dāng)AB與AD滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形MENF是正方形？請說明理由.
答案：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°?！進(jìn)是AD中點(diǎn)，∴AM=DM。在△ABM和△DCM中，AB=CD，∠A=∠D，AM=DM，∴△ABM≌△DCM(SAS)，∴BM=CM。
(2)當(dāng)AD=2AB時，四邊形MENF是正方形。理由：∵E，F(xiàn)，N分別是BM，CM，BC中點(diǎn)，∴EN=MF=$\frac{1}{2}$CM，F(xiàn)N=ME=$\frac{1}{2}$BM，EN//CM，F(xiàn)N//BM，∴四邊形MENF是平行四邊形?！連M=CM，∴ME=MF，∴平行四邊形MENF是菱形?！逜D=2AB，AM=DM，∴AB=AM，∴△ABM是等腰直角三角形，∴∠AMB=45°，同理∠DMC=45°，∴∠BMC=180° - 45° - 45°=90°，∴菱形MENF是正方形。
3. 如圖1-3-12，在△ABC的同側(cè)分別以AB，BC，AC為一邊作正方形ABDI、正方形BCFE、正方形ACHG.
(1)求證：△BDE≌△BAC.
(2)求證：四邊形ADEG是平行四邊形.
(3)直接回答下面兩個問題，不必證明：
①當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？
②當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？
答案：(1)證明：∵四邊形ABDI、BCFE是正方形，∴BD=AB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=90°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠DBE=∠ABC。在△BDE和△BAC中，BD=AB，∠DBE=∠ABC，BE=BC，∴△BDE≌△BAC(SAS)。
(2)證明：∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC，∠BDE=∠BAC?！咚倪呅蜛CHG是正方形，∴AC=AG，∠CAG=90°，∴DE=AG。∵∠ADB=90°，∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+∠BAC?！摺螪AG=360° - ∠BAD - ∠CAG - ∠BAC=360° - 90° - 90° - ∠BAC=180° - ∠BAC，∴∠ADE+∠DAG=90°+∠BAC+180° - ∠BAC=270°，此處修正為：∵∠ABD=90°，∠BAD=90°，∴AD//BG，∠BDE=∠BAC，∠EDA=∠BDE+∠ADB=∠BAC+90°，∠DAG=∠BAC+90°，∴∠EDA=∠DAG，∴DE//AG?！逥E=AG且DE//AG，∴四邊形ADEG是平行四邊形。
(3)①當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADEG是矩形。②當(dāng)∠BAC=90°且AB=AC時，四邊形ADEG是正方形。
