新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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2. 如圖2-3-8，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從點C出發(fā)沿邊CB向點B以2cm/s的速度移動，點Q運動到點B后停止移動，點P也隨之停止移動.
(1)如果P，Q同時出發(fā)，幾秒后，可使△PCQ的面積為8cm2？
(2)點P，Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？若存在，求出移動的時間；若不存在，說明理由.
答案：(1)設(shè)$ t $秒后，△PCQ的面積為8cm2，根據(jù)題意得$\frac{1}{2}(6 - t)×2t=8$，整理得$t^{2}-6t + 8=0$，解得$t_{1}=2$，$t_{2}=4$，當(dāng)$ t = 4 $時，$2t=8$，此時點Q運動到點B，符合題意，所以2秒或4秒后，可使△PCQ的面積為8cm2.
(2)不存在，理由如下：△ABC的面積為$\frac{1}{2}×6×8 = 24$cm2，其一半為12cm2，設(shè)$ t $秒后，△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半，根據(jù)題意得$\frac{1}{2}(6 - t)×2t=12$，整理得$t^{2}-6t + 12=0$，$\Delta=36 - 48=-12\lt0$，所以方程沒有實數(shù)解，即點P，Q在移動過程中，不存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.
3. 如圖2-3-9，等腰直角三角形ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，均以1cm/s的速度做直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D.設(shè)點P的運動時間為$ t $（單位：s），△PCQ的面積為$ S $（單位：cm2）.
(1)求出$ S $關(guān)于$ t $的函數(shù)關(guān)系式.
(2)點P運動幾秒后，$ S=S_{\triangle ABC} $？
(3)作PE⊥AC于點E，當(dāng)點P，Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論.
答案：(1)當(dāng)$ 0\lt t\lt10 $時，$ AP = t $，$ CQ = t $，$ BP = 10 - t $，$ S=\frac{1}{2}CQ× BP=\frac{1}{2}t(10 - t)=-\frac{1}{2}t^{2}+5t$；當(dāng)$ t\geq10 $時，$ AP = t $，$ CQ = t $，$ BP = t - 10 $，$ S=\frac{1}{2}CQ× BP=\frac{1}{2}t(t - 10)=\frac{1}{2}t^{2}-5t$，所以$ S=\begin{cases}-\frac{1}{2}t^{2}+5t(0\lt t\lt10)\\frac{1}{2}t^{2}-5t(t\geq10)\end{cases}$
(2)$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×10×10 = 50 $，當(dāng)$ 0\lt t\lt10 $時，$-\frac{1}{2}t^{2}+5t = 50$，整理得$t^{2}-10t + 100=0$，$\Delta=100 - 400=-300\lt0$，方程無解；當(dāng)$ t\geq10 $時，$\frac{1}{2}t^{2}-5t = 50$，整理得$t^{2}-10t - 100=0$，解得$t_{1}=5 + 5\sqrt{5}$，$t_{2}=5 - 5\sqrt{5}$（舍去），所以點P運動$5 + 5\sqrt{5}$秒后，$ S=S_{\triangle ABC} $.
(3)線段DE的長度不變，證明如下：過Q作QF⊥AC交AC的延長線于F，因為△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=∠BCA=45°，則∠QCF=45°，所以△APE和△CQF都是等腰直角三角形，$ AE=\frac{\sqrt{2}}{2}AP=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，$ CF=\frac{\sqrt{2}}{2}CQ=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，$ AC=10\sqrt{2} $，$ EF=AC - AE + CF=10\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{2}t=10\sqrt{2} $，因為PE⊥AC，QF⊥AC，所以PE//QF，$\frac{DE}{DF}=\frac{PE}{QF}$，$ PE=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，$ QF=\frac{\sqrt{2}}{2}t $，所以$ PE = QF $，$ DE = DF $，$ DE=\frac{1}{2}EF=5\sqrt{2}$，即線段DE的長度不變，為$5\sqrt{2}$cm.
