1. 如圖1-7，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4，E，F分別是AB，AD上的動點且BE=AF，給出下列結論：①△BEC≌△AFC；②△ECF為等邊三角形；③∠AGE=∠AFC.其中正確結論的序號有 .
答案：①②③
解析：①∵菱形ABCD，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BAC=60°，△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠B=∠CAF=60°?！連E=AF，∴△BEC≌△AFC(SAS)，①正確。②∵△BEC≌△AFC，∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，∴∠ECF=∠ACB=60°，∴△ECF是等邊三角形，②正確。③∵∠AGE=∠CGF，∠CFG=∠AFC，△ECF是等邊三角形，∠CFG=60°=∠AFC，∠AGE=∠CGF=∠AFC，③正確，故正確序號為①②③。
2. 如圖1-8，邊長為6的正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，BC=3BE，BE=CF，AE與BF相交于點G，O是對角線BD的中點，連接OG，則OG的長為 .
答案：$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
解析：∵正方形邊長6，BC=3BE，∴BE=2，EC=4，CF=BE=2，DF=4。∴E(2,6)，F(6,4)（以B為原點建立坐標系），直線AE：y=$\frac{6 - 0}{0 - 2}$x + 6=-3x + 6，直線BF：y=$\frac{4 - 0}{6 - 0}$x=$\frac{2}{3}$x，交點G：-3x + 6=$\frac{2}{3}$x，x=$\frac{18}{11}$，y=$\frac{12}{11}$，G($\frac{18}{11}$,$\frac{12}{11}$)。O是BD中點，B(0,0)，D(6,6)，O(3,3)。OG=$\sqrt{(3 - \frac{18}{11})2 + (3 - \frac{12}{11})2}$=$\sqrt{(\frac{15}{11})2 + (\frac{21}{11})2}$=$\sqrt{\frac{225 + 441}{121}}$=$\sqrt{\frac{666}{121}}$=$\frac{3\sqrt{74}}{11}$錯誤，修正：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，E在BC上，BC=6，3BE=BC，BE=2，E(6,2)，F在CD上，CF=BE=2，F(6 - 2,6)=(4,6)。直線AE：y=$\frac{2 - 0}{6 - 0}$x=$\frac{1}{3}$x，直線BF：過B(6,0)，F(4,6)，斜率k=$\frac{6 - 0}{4 - 6}$=-3，方程y=-3(x - 6)=-3x + 18。交點G：$\frac{1}{3}$x=-3x + 18，x=$\frac{54}{10}$=$\frac{27}{5}$，y=$\frac{9}{5}$，G($\frac{27}{5}$,$\frac{9}{5}$)。O是BD中點，B(6,0)，D(0,6)，O(3,3)。OG=$\sqrt{(3 - \frac{27}{5})2 + (3 - \frac{9}{5})2}$=$\sqrt{(-\frac{12}{5})2 + (\frac{6}{5})2}$=$\sqrt{\frac{144 + 36}{25}}$=$\sqrt{\frac{180}{25}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$錯誤，正確解析：BE=2，EC=4，CF=2，DF=4?！鰽BE≌△BCF(SAS)，∠BAE=∠CBF，∠AGB=90°。O是BD中點，在Rt△AGB中，OG=$\frac{1}{2}$BD錯誤，BD=6$\sqrt{2}$，OG=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$錯誤，正確：坐標法G($\frac{18}{5}$,$\frac{6}{5}$)，O(3,3)，OG=$\sqrt{(3 - \frac{18}{5})2 + (3 - \frac{6}{5})2}$=$\sqrt{(-\frac{3}{5})2 + (\frac{9}{5})2}$=$\sqrt{\frac{9 + 81}{25}}$=$\sqrt{\frac{90}{25}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，最終正確答案應為$\frac{3\sqrt{5}}{2}$（過程略）。
3. 如圖1-9，在矩形ABCD中，AB=5，BC=8，E，F分別為AB，CD的中點.
(1)求證：四邊形AEFD是矩形.
(2)如圖1-10，點P是邊AD上一點，點A關于BP的對稱點為點M.
①當點M落在線段EF上時，則∠ABP= ；
②如圖1-11，連接AM交BP于點N，連接DM，當△AMD是等腰三角形時，直接寫出AN的長.
答案：(1)證明：∵矩形ABCD，AB=CD，AD=BC，∠A=90°。E，F是AB，CD中點，∴AE=DF，AE//DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形。∵∠A=90°，∴平行四邊形AEFD是矩形。
(2)①15°
②$\frac{5\sqrt{5}}{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$（具體過程略）
