新課標同步單元練習九年級數(shù)學北師大版深圳專版
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3. 下列說法不正確的是( ).
A. 對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 對角線互相垂直的矩形是正方形
D. 一條對角線平分一組對角的矩形是正方形
答案：A
解析：A.對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，原說法錯誤；B.對角線相等的菱形是正方形，正確；C.對角線互相垂直的矩形是正方形，正確；D.一條對角線平分一組對角的矩形是正方形，正確，故選A。
4. 矩形各角的平分線圍成的四邊形是( ).
A. 平行四邊形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
答案：D
解析：矩形各角為90°，其平分線平分90°角為45°，相鄰平分線相交成90°角，且根據(jù)矩形性質(zhì)可證圍成的四邊形四邊相等，所以是正方形，故選D。
5. 如圖1-3-9，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED.求證：四邊形ABCD是正方形.
答案：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，AD=BC?！摺螧AE=∠BCE，∴∠BAD - ∠BAE=∠BCD - ∠BCE，即∠DAE=∠DCE。∵∠AED=∠CED，DE=DE，∴△AED≌△CED(AAS)，∴AD=CD?！逜D=CD且四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形。
6. 已知：如圖1-3-10，點D是△ABC中BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點E，F(xiàn)，且BF=CE.
(1)求證：Rt△BDF≌Rt△CDE.
(2)問：△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？并說明理由.
答案：(1)證明：∵D是BC中點，∴BD=CD。∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DFB=∠DEC=90°。在Rt△BDF和Rt△CDE中，BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)。
(2)當△ABC是等腰直角三角形，即∠A=90°且AB=AC時，四邊形AEDF是正方形。理由：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE?！摺螪FA=∠DEA=∠A=90°，∴四邊形AEDF是矩形。∵DF=DE，∴矩形AEDF是正方形。
1. 在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O.要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件.下面給出了五組條件：①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD；⑤OB=OC，且OB⊥OC.其中正確的有 .(填序號)
答案：①②③⑤
解析：①AB=AD平行四邊形是菱形，AC=BD菱形是正方形，正確；②AB⊥AD平行四邊形是矩形，AC⊥BD矩形是正方形，正確；③AB⊥AD且AB=AD平行四邊形是正方形，正確；④AB=BD且AB⊥BD無法判定是正方形，錯誤；⑤OB=OC平行四邊形是矩形，OB⊥OC矩形是正方形，正確，故正確的有①②③⑤。
