新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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一、基礎(chǔ)性作業(yè)
1. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性質(zhì)是( ).
A. 鄰邊相等
B. 對(duì)角線互相平分
C. 四個(gè)角都是直角
D. 對(duì)角線相等
答案：B
解析：矩形鄰邊不一定相等，A錯(cuò)誤；菱形四個(gè)角不一定是直角，C錯(cuò)誤；菱形對(duì)角線不一定相等，D錯(cuò)誤；矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，平行四邊形對(duì)角線互相平分，B正確，選B．
2. 在正方形ABCD中，以CD為一邊作等邊三角形CDE，則∠AED的度數(shù)是( ).
A. 15°
B. 75°
C. 15°或75°
D. 25°或65°
答案：C
解析：當(dāng)?shù)冗吶切蜟DE在正方形內(nèi)部時(shí)，∠ADE=90° - 60°=30°，AD=DE，∴∠AED=(180° - 30°)/2=75°；當(dāng)在外部時(shí)，∠ADE=90° + 60°=150°，AD=DE，∴∠AED=(180° - 150°)/2=15°，選C．
3. 如圖1-3-1，E為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，則∠DCE=______．
答案：22.5°
解析：∵正方形ABCD中，∠CBD=45°，BC=CD．∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=(180° - 45°)/2=67.5°，∠BCD=90°，∴∠DCE=∠BCD - ∠BCE=90° - 67.5°=22.5°．
4. 正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4，則這個(gè)正方形的面積是______．
答案：8
解析：正方形面積=1/2×對(duì)角線2=1/2×42=8．
5. 如圖1-3-2，在正方形ABCD中，AB=2．若以CD邊為底邊向正方形ABCD外作等腰直角三角形DCE，連接BE，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
答案：√10
解析：過(guò)E作EF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于F，∵△DCE是等腰直角三角形，CD=2，∴CE=DE，∠DCE=90°，∴∠ECF=45°，CF=EF=√2/2×CE．∵CD=2，∴CE=√2，CF=EF=1，∴BF=BC + CF=2 + 1=3，EF=1，∴BE=√(BF2 + EF2)=√(32 + 12)=√10．
6. 如圖1-3-3，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．
(1)求證：△ABE≌△DCE；
(2)求∠AED的度數(shù)．
答案：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°．∵△EBC是等邊三角形，∴BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，∴∠ABE=∠ABC - ∠EBC=30°，∠DCE=∠DCB - ∠ECB=30°，∴∠ABE=∠DCE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．
(2)∵AB=BC，BE=BC，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=(180° - 30°)/2=75°．同理∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90° - 75°=15°，∴∠AED=180° - 15° - 15°=150°．
二、拓展性作業(yè)
1. 如圖1-3-4，邊長(zhǎng)為√3的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB'C'D'，兩圖疊成一個(gè)“蝶形風(fēng)箏”(如圖所示的陰影部分)，則這個(gè)“蝶形風(fēng)箏”的面積是______．
答案：3 - √3
解析：設(shè)B'C'與CD交于點(diǎn)E，連接AE，∵AD=AB'=√3，∠B'AD=30°，∠DAB=90°，∴∠B'AE=∠DAE=30°．在Rt△ADE中，AE=2DE，AD2 + DE2=AE2，即(√3)2 + DE2=(2DE)2，解得DE=1，∴△ADE的面積=1/2×√3×1=√3/2，兩個(gè)全等三角形的面積=√3，正方形面積=3，∴陰影部分面積=3 - √3．
