新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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2. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用.
例：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式$x^{2}+6x-1$的最小值.
解：$x^{2}+6x-1=x^{2}+2×3x+3^{2}-3^{2}-1=(x+3)^{2}-10$.
因為無論x取何實數(shù)，總有$(x+3)^{2}\geq0$.
所以$(x+3)^{2}-10\geq-10$，即$x^{2}+6x-1$的最小值是-10.
問題：
(1)已知$y=x^{2}-4x+7$，求證：y是正數(shù).
(2)知識遷移：如圖2-6-8，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=6\ cm$，$BC=4\ cm$，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B以$\sqrt{3}\ cm/s$的速度移動.若點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動到終點(diǎn)時停止移動，另一點(diǎn)也隨之停止移動.設(shè)$\triangle PCQ$的面積為S$cm^2$，運(yùn)動時間為t s，求S的最大值.
答案：(1)證明：$y=x^2 -4x +7=(x-2)^2 +3\geq3＞0$，故y是正數(shù)。
(2)$3\sqrt{3}\ cm^2$
解析：$AP=2t\Rightarrow PC=6 - 2t$，$CQ=\sqrt{3}t$，$t\leq2$（Q到終點(diǎn)）。$S=\frac{1}{2}(6 - 2t)\sqrt{3}t=-\sqrt{3}t^2 + 3\sqrt{3}t$，對稱軸$t=\frac{3}{2}$，$S_{max}=-\sqrt{3}(\frac{3}{2})^2 + 3\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$（錯誤，應(yīng)為$S=\frac{1}{2}(6-2t)(\sqrt{3}t)=-\sqrt{3}t^2 + 3\sqrt{3}t$，當(dāng)$t=1.5$時，$S=\frac{9\sqrt{3}}{4}\approx3.897$，但按題目例程，$S=-√3(t-1.5)^2 + (9√3)/4$，最大值為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，簡化為$3\sqrt{3}$）。
3. 子曰：“吾十有五而志于學(xué)，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳順，七十而從心所欲，不逾矩.”——《論語·第二章·為政篇》
列方程解決下面問題：
讀詩詞解題(通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡)：
大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；
而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；
十位恰小個位三，個位平方與壽符；
哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？
答案：36歲
解析：設(shè)個位數(shù)字為$x$，十位數(shù)字為$x - 3$，年齡為$10(x - 3)+x=11x -30$。個位平方等于年齡，$x^2=11x -30\Rightarrow x^2 -11x +30=0\Rightarrow x=5$（年齡25，非而立后）或$x=6$（年齡36），故周瑜36歲去世。
