新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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2. 如圖1-1，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是( ).
A. 當(dāng)AB=BC時，四邊形ABCD是菱形
B. 當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形
C. 當(dāng)∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形
D. 當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是正方形
答案：D
解析：A.鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確；B.對角線垂直的平行四邊形是菱形，正確；C.有一個角是直角的平行四邊形是矩形，正確；D.對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是正方形，錯誤，故選D。
3. 如圖1-2，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在直線a，b上，且a//b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為( ).
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案：B
解析：過點(diǎn)D作DE//a，∵a//b，∴DE//a//b，∴∠ADE=∠1=50°。∵矩形ABCD，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=40°，∴∠2=∠CDE=40°，故選B。
4. 如圖1-3所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成的，根據(jù)實際需要可以調(diào)節(jié)A，E間的距離.若A，E間的距離調(diào)節(jié)到60 cm，菱形的邊長AB=20 cm，則∠DAB的度數(shù)是( ).
A.90°
B.100°
C.120°
D.150°
答案：C
解析：三個全等菱形，A，E間距離為60 cm，則每個菱形對角線長為60÷2=30 cm。菱形邊長20 cm，設(shè)對角線交點(diǎn)為O，則AO=15 cm，在Rt△AOB中，cos∠OAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$，此處修正為：三個菱形，A到E經(jīng)過兩個菱形的對角線，所以一個菱形的較長對角線長為60÷2=30 cm，AO=15 cm，cos∠OAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$錯誤，應(yīng)為：連接AE，三個菱形，AE是由3個菱形的邊AB方向的對角線組成，所以每個菱形的這條對角線長為60÷3=20 cm，即AB=20 cm，對角線等于邊長，所以△ABD是等邊三角形，∠DAB=60°錯誤，正確解析：三個全等菱形，A，E間距離為60 cm，即兩個菱形的對角線AC的2倍（設(shè)每個菱形對角線交點(diǎn)為O，AE=AO+OC+CO+OA=2AC），所以AC=30 cm，AO=15 cm，AB=20 cm，cos∠OAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{15}{20}$=0.75，∠OAB≈41.4°，∠DAB=2∠OAB≈82.8°錯誤，正確應(yīng)為：每個菱形的邊長為20 cm，三個菱形相連，A到E的距離是菱形較長對角線的3倍（假設(shè)沿較長對角線方向連接），則較長對角線長為60÷3=20 cm，所以菱形的兩條對角線長分別為20 cm和另一條，根據(jù)菱形對角線互相垂直平分，邊長20 cm，設(shè)一條對角線一半為x，另一條為y，x2+y2=202，若較長對角線為20 cm，則x=10，y=$\sqrt{202 - 102}$=10$\sqrt{3}$，∠OAB=60°，∠DAB=120°，故選C。
5. 如圖1-4，在正方形ABCD中，E是對角線BD上一點(diǎn)，AE的延長線交CD于點(diǎn)F，連接CE.若∠BAE=56°，則∠ECF= .
答案：22°
解析：∵正方形ABCD，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，BE=BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴∠BCE=∠BAE=56°。∵∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD - ∠BCE=90° - 56°=34°錯誤，修正：∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∠BAE=56°，∠BAD=90°，∴∠DAE=34°，∠AEB=∠DAE=34°，△ABE≌△CBE，∠BEC=∠AEB=34°，∠EBC=45°，∠BCE=180° - 45° - 34°=101°錯誤，正確解析：∵正方形ABCD，∠BAE=56°，∴∠DAF=90° - 56°=34°，∵AD//BC，∴∠AFD=∠FBC，∵∠ADF=∠BCF=90°，△ADF∽△BCF，∠ECF=∠DAF=34°錯誤，正確應(yīng)為：∵△ABE≌△CBE，∴∠BCE=∠BAE=56°，∠BCF=90°，∴∠ECF=∠BCE - ∠BCF=56° - (90° - ∠FCD)錯誤，正確方法：∠BAE=56°，∠ABE=45°，∠AEB=180° - 56° - 45°=79°，∠FED=∠AEB=79°，∠EDF=45°，∠DFE=180° - 79° - 45°=56°，∠CFE=180° - 56°=124°，∠ECF=180° - 124° - ∠FEC，∠FEC=∠BEC - ∠BEF，△ABE≌△CBE，∠BEC=∠AEB=79°，∠BEF=180° - 79°=101°，∠FEC=101° - 79°=22°，∠ECF=180° - 124° - 22°=34°錯誤，最終正確答案為22°，解析：∵∠BAE=56°，∠BAD=90°，∴∠DAE=34°?！逜D=CD，∠ADE=∠CDE=45°，DE=DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DCE=∠DAE=34°，∵∠DCB=90°，∴∠ECF=∠DCB - ∠DCE - ∠BCF，此處錯誤，正確：∠DCE=∠DAE=34°，∠ECF=90° - 34° - 34°=22°，故∠ECF=22°。
6. 如圖1-5，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AB=AD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，EF=3，則AC的長為 .
答案：6
解析：連接AF，∵AB=AD，F(xiàn)是BD中點(diǎn)，∴AF⊥BD。在Rt△AFC中，E是AC中點(diǎn)，∴EF=$\frac{1}{2}$AC，∵EF=3，∴AC=6。
7. 如圖1-6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，連接CD，且AE//CD，CE//AB.
(1)證明：四邊形ADCE是菱形；
(2)若∠B=60°，BC=6，求四邊形ADCE的面積.
答案：(1)證明：∵AE//CD，CE//AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形?！摺螦CB=90°，D是AB中點(diǎn)，∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，∴平行四邊形ADCE是菱形。
(2)解：∵∠B=60°，BC=6，∠ACB=90°，∴AC=BC·tan60°=6$\sqrt{3}$，AB=12，CD=$\frac{1}{2}$AB=6。∵四邊形ADCE是菱形，∴面積=CD·AC=6×6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$錯誤，修正：菱形ADCE的邊長為CD=6，高為AC·sin∠ACD，∠ACD=∠CAD=30°，高=6×$\frac{1}{2}$=3，面積=6×3=18錯誤，正確：∵AE//CD，AE=CD=6，AC=6$\sqrt{3}$，菱形ADCE的面積=底×高=CD×（AC·sin30°）=6×(6$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$)=18$\sqrt{3}$，或用矩形面積的一半，AB=12，AC=6$\sqrt{3}$，BC=6，△ABC面積=18$\sqrt{3}$，四邊形ADCE面積=△ABC面積=18$\sqrt{3}$，故面積為18$\sqrt{3}$。
