新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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二、拓展性作業(yè)
1. 如圖1-2-21，在平行四邊形ABCD中，P是AB上一點(不與點A，B重合)，CP=CD，過點P作PQ⊥CP，交AD于點Q，連接CQ，∠BPC=∠AQP．
(1)求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)當(dāng)AP=3，AD=9時，求AQ和CQ的長．
答案：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A + ∠B=180°．∵PQ⊥CP，∴∠QPC=90°，∴∠AQP + ∠QPA=90°．∵∠BPC=∠AQP，∠QPA + ∠BPC + ∠QPC=180°，∴∠QPA + ∠BPC=90°，∴∠AQP=∠BPC=90° - ∠QPA，∴∠A=∠QPA + ∠AQP=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形．
(2)設(shè)AQ=x，則DQ=AD - AQ=9 - x．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，CD=AB，AD=BC=9．∵CP=CD，設(shè)CD=CP=AB=y，則BP=AB - AP=y - 3．在Rt△BPC中，CP2=BP2 + BC2，即y2=(y - 3)2 + 92，解得y=15，∴CD=15，AB=15，BP=12．∵∠AQP=∠BPC，∠A=∠B=90°，∴△AQP∽△BPC，∴AQ/BP=AP/BC，即x/12=3/9，解得x=4，∴AQ=4．在Rt△QDC中，CQ=√(DQ2 + CD2)=√((9 - 4)2 + 152)=√(25 + 225)=√250=5√10．
2. 如圖1-2-22，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，M為EF的中點，求AM的最小值．
答案：12/5
解析：連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF=AP，M是EF中點，∴AM=1/2EF=1/2AP．當(dāng)AP⊥BC時，AP最小，此時AP=AB×AC/BC=6×8/10=24/5，∴AM的最小值=1/2×24/5=12/5．
3. 如圖1-2-23，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD．順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A?B?C?D?；再順次連接四邊形A?B?C?D?各邊中點，得到四邊形A?B?C?D?……如此進(jìn)行下去得到四邊形A?B?C?D?．
(1)證明：四邊形A?B?C?D?是矩形；
(2)寫出四邊形A?B?C?D?和四邊形A?B?C?D?的面積；
(3)寫出四邊形A?B?C?D?的面積．
答案：(1)∵A?，B?，C?，D?分別是四邊形ABCD各邊中點，∴A?B?//AC，A?B?=1/2AC，C?D?//AC，C?D?=1/2AC，∴A?B?//C?D?，A?B?=C?D?，∴四邊形A?B?C?D?是平行四邊形．∵AC⊥BD，A?B?//AC，B?C?//BD，∴A?B?⊥B?C?，∴∠B?=90°，∴平行四邊形A?B?C?D?是矩形．
(2)四邊形ABCD的面積=1/2AC×BD=1/2×6×8=24，四邊形A?B?C?D?的面積=1/2×四邊形ABCD的面積=12，四邊形A?B?C?D?的面積=1/2×四邊形A?B?C?D?的面積=6．
(3)四邊形A?B?C?D?的面積=24×(1/2)?=3×23×(1/2)?=3×2^(3 - n)．
