新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；
(2)若BD平分∠ABC，求證：四邊形AECF是菱形.
答案：(1)證明：∵平行四邊形ABCD，∴AO=OC，BO=OD。
∵BE=DF，∴BO - BE=OD - DF，即EO=OF。
∵AO=OC，EO=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形。
(2)證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBE，∴∠ABE=∠ADB，∴AB=AD。
∵平行四邊形ABCD，AB=AD，∴ABCD是菱形，∴AC⊥BD。
∵四邊形AECF是平行四邊形，AC⊥BD，∴AECF是菱形。
二、拓展性作業(yè)
1. 如圖1-1-10，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn).給出下列結(jié)論：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④四邊形BEFG是菱形，其中正確的有______.(填序號)
答案：①②③④
解析：設(shè)AD=1，BD=2，OD=1，AD=OD，∴△ADO為等腰三角形。E、F、G分別為OC、OD、AB中點(diǎn)，EF=1/2CD=1/2AB=BG，EG=1/2AD=1/2，EF=1/2CD=1/2，故①EG=EF正確；△EFG≌△GBE（SAS），②正確；EA平分∠GEF（角平分線定理），③正確；BE=EF=FG=GB，④正確。
2. 如圖1-1-11，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8，0)，C是x軸正半軸上一點(diǎn)，D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______.
答案：(-8，4)或(8+4√5，4)或(3，4)
解析：①AB為邊，AC=AB=√(82+42)=4√5，C(4√5 -8，0)，D=A + (B - C)=(8 - (4√5 -8)，4)=(16 -4√5，4)（舍）；②AB為對角線，D(8，4)；③AC=BC，設(shè)C(x，0)，√(x2+42)=8 - x→x=3，C(3，0)，D=A + C - B=(0+3-8，4+0-0)=(-5，4)，綜上，正確答案為(3，4)、(8+4√5，4)、(-8，4)。
3. 如圖1-1-12，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是邊BC延長線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，且與CD，AD分別交于點(diǎn)G，H，連接OH.
(1)若AC⊥AB，OF=OC，求證：FG=CG；
(2)若在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，存在四邊形OCGH是菱形的情形，試探究平行四邊形ABCD的邊和角需要滿足的條件.
答案：(1)證明：∵AC⊥AB，ABCD為平行四邊形，∴∠BAC=90°。
∵EF⊥BD，∴∠OFG=90°。
∵OF=OC，∠FOG=∠COG，OG=OG，∴△OFG≌△OCG（SAS），∴FG=CG。
(2)條件：AC=BC且∠ABC=60°。
解析：四邊形OCGH是菱形，則OC=CG=GH=OH?！逴C=1/2AC，CG=CD - DG，需AC=BC且∠ABC=60°使OC=CG。
