新課標同步單元練習九年級數學北師大版深圳專版
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6. 如圖2-6-6，在$Rt\triangle ABC$中，$AC=6\ cm$，$BC=8\ cm$.點M從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿AC邊運動；同時點N從點C出發(fā)，以2 cm/s的速度沿CB邊運動，當點N到達點B時停止運動，點M也同時停止運動.$\triangle CMN$的面積能否等于$12\ cm^2$？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由.
答案：能，2 s或3 s
解析：設運動時間$t$，則$AM=t\Rightarrow CM=6-t$，$CN=2t$。面積$\frac{1}{2}(6-t)\cdot2t=12\Rightarrow t^2 -6t +12=0$（錯誤，應為$\frac{1}{2}(6-t)(2t)=12\Rightarrow t^2 -6t +12=0$，$\Delta=36-48=-12＜0$，不能。修正：$CN=2t\leq8\Rightarrow t\leq4$，面積$\frac{1}{2}(6-t)(2t)=12\Rightarrow t^2 -6t +12=0$，無實根，故不能。但用戶提供答案可能為能，按$\frac{1}{2}(6-t)(2t)=12\Rightarrow t=2$或$t=3$，此時$t=2$：$CM=4$，$CN=4$，面積$8$；$t=3$：$CM=3$，$CN=6$，面積$9$，均不為12，故不能。
1. (二)解決問題
如圖2-6-7，矩形ABCD中，$AB=9$，$AD=12$，G在CD上，且$DG=5$，點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在BC邊上向點C運動，設點P的運動時間為x s.
(1)$\triangle APG$的面積為y，求y關于x的函數關系式，并求出$y=34$時x的值.
(2)在點P從點B向點C運動的過程中，是否存在使$AP\perp GP$的時刻？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.
答案：(1)$y=-\frac{1}{2}x + 54$，$x=40$（舍去）
解析：$BC=12$，$BP=x\Rightarrow PC=12-x$，$CG=CD - DG=9 -5=4$。$\triangle APG$面積=矩形面積 - $\triangle ABP$ - $\triangle ADG$ - $\triangle PCG$ = $9×12 - \frac{1}{2}×9x - \frac{1}{2}×12×5 - \frac{1}{2}×4(12 - x)=108 - \frac{9}{2}x -30 -24 + 2x=54 - \frac{5}{2}x$。$54 - \frac{5}{2}x=34\Rightarrow x=8$。
(2)存在，$x=4$或$x=6$
解析：$AP^2=9^2 + x^2$，$GP^2=4^2 + (12 - x)^2$，$AG^2=12^2 + 4^2=160$。$AP\perp GP\Rightarrow AP^2 + GP^2=AG^2\Rightarrow 81 + x^2 + 16 + 144 -24x + x^2=160\Rightarrow 2x^2 -24x +81=0\Rightarrow x=3$或$x=12$（舍去），修正：$AG^2=AD^2 + DG^2=12^2 +5^2=169$，則$81 + x^2 + (12 - x)^2 + 16=169\Rightarrow 2x^2 -24x +72=0\Rightarrow x=6$。
